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Notion de variable aléatoire réelle à densité
➤ Remarques
• Dans la pratique, pour démontrer qu’une variable aléatoire réelle est une variable à densité, il faut déterminer
sa fonction de répartition, vérifier que celle-ci est continue et dérivable sauf en un nombre fini de points. La
dérivée trouvée est une densité.
Cette méthode sera mise en œuvre dans la deuxième partie du chapitre, pour chercher une densité d’une
variable aléatoire fonction d’une variable à densité X.
• La fonction f n’est pas unique. C’est pourquoi on parle d’une densité et non de la densité.
Si f est une densité de X, toute fonction g positive, coïncidant avec f sauf en un nombre fini de points est
encore une densité. En effet, g est encore continue sauf en un nombre fini de points et sur tout intervalle,
l’intégrale de g est égale à celle de f . Réciproquement toute densité g est de ce type, car g comme f doit être
égale à F sauf en un nombre fini de points.
En général, on prend f (x) = F (x), si F est dérivable en x. Si F n’est pas dérivable en x, on peut prendre f(x)
quelconque. En général, si c’est possible, on prolonge en un tel point f par continuité à gauche ou à droite.
Le théorème suivant répond à la question : à quelle condition une fonction
F : R −→ R est-elle la fonction de répartition d’une variable à densité ? (On peut
d’ailleurs se poser la même question pour une variable aléatoire quelconque). C’est le
pendant du théorème 1 (admis), pour les densités. Nous l’en déduisons.
Théorème 4
Soit F une fonction définie et croissante sur R, ayant pour limites 0 et 1 en −∞ et +∞
respectivement, continue sur R, de classe C
1 sur R sauf peut-être en un nombre fini de
points.
Alors il existe un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X définie sur cet
espace probabilisé dont F est la fonction de répartition.
Preuve
On définit f comme dans la démonstration du théorème 3 : f(x) = F (x) en tout point où F est dérivable, f
positive quelconque ailleurs. Comme F est croissante, f est positive. La démonstration du théorème 3 s’applique :
elle ne fait appel qu’aux propriétés de F qui figurent dans l’hypothèse. On obtient donc, pour tout réel x,
F(x) =
x
−∞
f(t) dt.
En faisant tendre x vers +∞, on a de plus
+∞
−∞
f (t) dt = lim
x→+∞
x
−∞
f(t) dt = lim
x→+∞
F(x) = 1.
Ainsi f a toutes les propriétés voulues pour être une densité. D’après le théorème 1, il existe une variable X
définie sur un espace probabilisé (V, T , P) dont f est une densité. Par définition d’une variable à densité, la
fonction de répartition de X est la fonction x −→
x
−∞
f(t) dt, c’est-à-dire F.
❑
Exemple
On pose
F(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
s ix < −1,
1 −
√ −x
2
si − 1 x 0
1 +
√
x
2
si 0 x 1
1
s ix > 1.
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Notion de variable aléatoire réelle à densité
➤ Remarques
• Dans la pratique, pour démontrer qu’une variable aléatoire réelle est une variable à densité, il faut déterminer
sa fonction de répartition, vérifier que celle-ci est continue et dérivable sauf en un nombre fini de points. La
dérivée trouvée est une densité.
Cette méthode sera mise en œuvre dans la deuxième partie du chapitre, pour chercher une densité d’une
variable aléatoire fonction d’une variable à densité X.
• La fonction f n’est pas unique. C’est pourquoi on parle d’une densité et non de la densité.
Si f est une densité de X, toute fonction g positive, coïncidant avec f sauf en un nombre fini de points est
encore une densité. En effet, g est encore continue sauf en un nombre fini de points et sur tout intervalle,
l’intégrale de g est égale à celle de f . Réciproquement toute densité g est de ce type, car g comme f doit être
égale à F sauf en un nombre fini de points.
En général, on prend f (x) = F (x), si F est dérivable en x. Si F n’est pas dérivable en x, on peut prendre f(x)
quelconque. En général, si c’est possible, on prolonge en un tel point f par continuité à gauche ou à droite.
Le théorème suivant répond à la question : à quelle condition une fonction
F : R −→ R est-elle la fonction de répartition d’une variable à densité ? (On peut
d’ailleurs se poser la même question pour une variable aléatoire quelconque). C’est le
pendant du théorème 1 (admis), pour les densités. Nous l’en déduisons.
Théorème 4
Soit F une fonction définie et croissante sur R, ayant pour limites 0 et 1 en −∞ et +∞
respectivement, continue sur R, de classe C
1 sur R sauf peut-être en un nombre fini de
points.
Alors il existe un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X définie sur cet
espace probabilisé dont F est la fonction de répartition.
Preuve
On définit f comme dans la démonstration du théorème 3 : f(x) = F (x) en tout point où F est dérivable, f
positive quelconque ailleurs. Comme F est croissante, f est positive. La démonstration du théorème 3 s’applique :
elle ne fait appel qu’aux propriétés de F qui figurent dans l’hypothèse. On obtient donc, pour tout réel x,
F(x) =
x
−∞
f(t) dt.
En faisant tendre x vers +∞, on a de plus
+∞
−∞
f (t) dt = lim
x→+∞
x
−∞
f(t) dt = lim
x→+∞
F(x) = 1.
Ainsi f a toutes les propriétés voulues pour être une densité. D’après le théorème 1, il existe une variable X
définie sur un espace probabilisé (V, T , P) dont f est une densité. Par définition d’une variable à densité, la
fonction de répartition de X est la fonction x −→
x
−∞
f(t) dt, c’est-à-dire F.
❑
Exemple
On pose
F(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
s ix < −1,
1 −
√ −x
2
si − 1 x 0
1 +
√
x
2
si 0 x 1
1
s ix > 1.
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