Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
La fonction f est continue sur [a, a i+1 [. Par définition de la convergence d’une intégrale généralisée, on a
lim
x→ai+1
x
a
f (t) dt =
ai+1
a
f (t) dt. On en déduit
lim
x→a i+1
x F(x) =
a
−∞
f (t) dt +
ai+1
a
f (t) dt =
ai+1
−∞
f(t) dt = F(a i+1 ),
d’après la relation de Chasles et la définition d’une variable à densité.
On a montré ainsi la continuité en a i+1 pour i ∈ Ú0, n − 1Û, c’est-à-dire en a1, . . . ,an. Finalement, la fonction F
est continue sur R.
❑
Vérifier ces propriétés de la fonction de répartition suffit à montrer qu’une variable
aléatoire est à densité, comme le montre le théorème suivant.
Théorème 3
Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. Si F est continue sur R
et de classe C
1 sauf en un nombre fini de points, alors X est une variable à densité. Si f est
une fonction positive ou nulle telle que F
(x) = f (x) en tout point x où F est dérivable, f
est une densité de X.
Preuve
Considérons une fonction f positive telle que F (x) = f (x) en tout point x où F est dérivable. Puisque F est de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, f est continue sauf en un nombre finie de points. Soit x ∈ R. On
considère des points a1, . . . , an vérifiant a1 < a2 < · · · < an et an = x tels que F soit dérivable en tout point de
] − ∞, x] \ {a1, a2, . . . , an}. Soit i ∈ Ú1, n − 1Û. Pour tout segment [u, v] inclus dans l’intervalle ouvert ]a i , a i+1 [,
on a
v
u
f (t) dt =
v
u
F
(t) dt = F(v) − F(u).
Comme F est continue en a i et a i+1 , cette intégrale a une limite finie quand u tend vers a i et v vers a i+1 . On en
déduit que l’intégrale généralisée
ai+1
ai
f (t) dt converge et
ai+1
ai
f (t) dt = F(a i+1 ) − F(a i ).
Si on prend [u, v] dans ] − ∞, a1[ et que l’on fait tendre u vers −∞ et v vers a1, on obtient, sachant que
lim
x→−∞
F(x) = 0, puisque F est une fonction de répartition,
a1
−∞
f (t) dt = F(a1).
On en déduit que
an
−∞
f (t) dt =
x
−∞
f (t) dt converge et par la relation de Chasles,
x
−∞
f (t) dt =
an
−∞
f (t) dt =
a1
−∞
f (t) dt +
a2
a1
f(t) dt + · · · +
an
a n−1
f(t) dt
= F(a1) + F(a2) − F(a1) + · · · + F(an) − F(a n−1 ) = F(an) = F(x).
Par définition, X est une variable à densité dont une densité est f.
❑
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La fonction f est continue sur [a, a i+1 [. Par définition de la convergence d’une intégrale généralisée, on a
lim
x→ai+1
x
a
f (t) dt =
ai+1
a
f (t) dt. On en déduit
lim
x→a i+1
x F(x) =
a
−∞
f (t) dt +
ai+1
a
f (t) dt =
ai+1
−∞
f(t) dt = F(a i+1 ),
d’après la relation de Chasles et la définition d’une variable à densité.
On a montré ainsi la continuité en a i+1 pour i ∈ Ú0, n − 1Û, c’est-à-dire en a1, . . . ,an. Finalement, la fonction F
est continue sur R.
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Vérifier ces propriétés de la fonction de répartition suffit à montrer qu’une variable
aléatoire est à densité, comme le montre le théorème suivant.
Théorème 3
Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. Si F est continue sur R
et de classe C
1 sauf en un nombre fini de points, alors X est une variable à densité. Si f est
une fonction positive ou nulle telle que F
(x) = f (x) en tout point x où F est dérivable, f
est une densité de X.
Preuve
Considérons une fonction f positive telle que F (x) = f (x) en tout point x où F est dérivable. Puisque F est de
classe C
1 sauf en un nombre fini de points, f est continue sauf en un nombre finie de points. Soit x ∈ R. On
considère des points a1, . . . , an vérifiant a1 < a2 < · · · < an et an = x tels que F soit dérivable en tout point de
] − ∞, x] \ {a1, a2, . . . , an}. Soit i ∈ Ú1, n − 1Û. Pour tout segment [u, v] inclus dans l’intervalle ouvert ]a i , a i+1 [,
on a
v
u
f (t) dt =
v
u
F
(t) dt = F(v) − F(u).
Comme F est continue en a i et a i+1 , cette intégrale a une limite finie quand u tend vers a i et v vers a i+1 . On en
déduit que l’intégrale généralisée
ai+1
ai
f (t) dt converge et
ai+1
ai
f (t) dt = F(a i+1 ) − F(a i ).
Si on prend [u, v] dans ] − ∞, a1[ et que l’on fait tendre u vers −∞ et v vers a1, on obtient, sachant que
lim
x→−∞
F(x) = 0, puisque F est une fonction de répartition,
a1
−∞
f (t) dt = F(a1).
On en déduit que
an
−∞
f (t) dt =
x
−∞
f (t) dt converge et par la relation de Chasles,
x
−∞
f (t) dt =
an
−∞
f (t) dt =
a1
−∞
f (t) dt +
a2
a1
f(t) dt + · · · +
an
a n−1
f(t) dt
= F(a1) + F(a2) − F(a1) + · · · + F(an) − F(a n−1 ) = F(an) = F(x).
Par définition, X est une variable à densité dont une densité est f.
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