© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Notion de variable aléatoire réelle à densité
On en déduit lim
x→1
2
x
f (t) dt = 2a. Ainsi
2
1
f (t) dt converge et est égale à 2a, donc
+∞
−∞
f (t) dt = 2a.
La fonction f est une densité d’une variable aléatoire si, et seulement si, a =
1
2
·
1.2 Fonction de répartition d’une variable à densité
Rappelons les propriétés vérifiées par la fonction de répartition d’une variable aléatoire
quelconque. Elles ont été énoncées dans le chapitre Variables aléatoires discrètes. La
fonction de répartition d’une variable aléatoire quelconque est croissante, a pour limite
0 en −∞ et 1 en +∞ ; elle est continue à droite en tout point et, pour tout réel x,
lim
x −
F = F(x) − P([X = x]).
Théorème 2
Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle à densité X, f une densité
de X. Alors
1. F est continue sur R ;
2. F est de classe C
1 sauf en un nombre fini de points. Il existe des réels
a 1 < · · · < a n tels que F est de classe C
1 et de dérivée f sur chaque intervalle
] − ∞, a 1 [, ]a 1 , a 2 [, . . . , ]a n , +∞[.
Preuve
Considérons une densité f de X, a1 < · · · < an les points de discontinuité éventuels de f. On pose de plus
a0 = −∞, an+1 = +∞.
Soit i ∈ Ú0, nÛ. Montrons que F est de classe C
1 sur ]a i , a i+1 [. On considère a ∈ ]ai, a i+1[ . D’après la relation de
Chasles, on peut écrire, pour tout x ∈ ]ai, a i+1[ ,
F(x) =
x
−∞
f (t) dt =
a
−∞
f(t) dt +
x
a
f(t) dt,
toutes les intégrales étant convergentes puisque
+∞
−∞
f (t) dt est une intégrale convergente.
Comme f est continue sur ]a i , a i+1 [, la fonction x −→
x
a
f(t) dt est, par définition de l’intégrale, une primitive
de f sur ]a i , a i+1 [ (c’est la primitive de f qui s’annule en a). Comme
a
−∞
f(t) dt est une constante, on en déduit
que F est dérivable sur ]a i , a i+1 [, de dérivée f . Cela démontre que F est dérivable en tout point de R\{a1, . . . , an}
et que F = f sur chaque intervalle où F est dérivable. Le second point est établi.
Ce qui précède montre que F est continue (car dérivable) en tout point de R\{a1, . . . , an}. Il suffit de démontrer
la continuité de F en a1, . . . , an. On sait déjà qu’il y a continuité à droite : c’est une propriété générale des
fonctions de répartition. Pour la continuité à gauche, reprenons l’égalité précédente pour i ∈ Ú0, n − 1Û : pour
tout x ∈ ]ai, a i+1[ ,
F(x) =
a
−∞
f (t) dt +
x
a
f(t) dt.
315
Notion de variable aléatoire réelle à densité
On en déduit lim
x→1
2
x
f (t) dt = 2a. Ainsi
2
1
f (t) dt converge et est égale à 2a, donc
+∞
−∞
f (t) dt = 2a.
La fonction f est une densité d’une variable aléatoire si, et seulement si, a =
1
2
·
1.2 Fonction de répartition d’une variable à densité
Rappelons les propriétés vérifiées par la fonction de répartition d’une variable aléatoire
quelconque. Elles ont été énoncées dans le chapitre Variables aléatoires discrètes. La
fonction de répartition d’une variable aléatoire quelconque est croissante, a pour limite
0 en −∞ et 1 en +∞ ; elle est continue à droite en tout point et, pour tout réel x,
lim
x −
F = F(x) − P([X = x]).
Théorème 2
Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle à densité X, f une densité
de X. Alors
1. F est continue sur R ;
2. F est de classe C
1 sauf en un nombre fini de points. Il existe des réels
a 1 < · · · < a n tels que F est de classe C
1 et de dérivée f sur chaque intervalle
] − ∞, a 1 [, ]a 1 , a 2 [, . . . , ]a n , +∞[.
Preuve
Considérons une densité f de X, a1 < · · · < an les points de discontinuité éventuels de f. On pose de plus
a0 = −∞, an+1 = +∞.
Soit i ∈ Ú0, nÛ. Montrons que F est de classe C
1 sur ]a i , a i+1 [. On considère a ∈ ]ai, a i+1[ . D’après la relation de
Chasles, on peut écrire, pour tout x ∈ ]ai, a i+1[ ,
F(x) =
x
−∞
f (t) dt =
a
−∞
f(t) dt +
x
a
f(t) dt,
toutes les intégrales étant convergentes puisque
+∞
−∞
f (t) dt est une intégrale convergente.
Comme f est continue sur ]a i , a i+1 [, la fonction x −→
x
a
f(t) dt est, par définition de l’intégrale, une primitive
de f sur ]a i , a i+1 [ (c’est la primitive de f qui s’annule en a). Comme
a
−∞
f(t) dt est une constante, on en déduit
que F est dérivable sur ]a i , a i+1 [, de dérivée f . Cela démontre que F est dérivable en tout point de R\{a1, . . . , an}
et que F = f sur chaque intervalle où F est dérivable. Le second point est établi.
Ce qui précède montre que F est continue (car dérivable) en tout point de R\{a1, . . . , an}. Il suffit de démontrer
la continuité de F en a1, . . . , an. On sait déjà qu’il y a continuité à droite : c’est une propriété générale des
fonctions de répartition. Pour la continuité à gauche, reprenons l’égalité précédente pour i ∈ Ú0, n − 1Û : pour
tout x ∈ ]ai, a i+1[ ,
F(x) =
a
−∞
f (t) dt +
x
a
f(t) dt.
315