Chapitre 10 – Variables aléatoires réelles à densité
• S’il y a nécessité de préciser, on notera FX la fonction de répartition et fX une densité de X.
• En général, la fonction f n’est pas unique. C’est pourquoi on parle d’une densité de f. Ce point sera précisé
plus loin.
Nous admettrons qu’à toute fonction f vérifiant les trois propriétés énoncées dans la
définition correspond une variable aléatoire.
Théorème 1
Soit f une fonction de R dans R positive ou nulle, continue sauf en un nombre fini de
points et telle que
+∞
−∞
f (t) dt = 1. Alors il existe un espace probabilisé (V, T , P) et une
variable aléatoire X, définie sur cet espace probabilisé, dont f est une densité.
➤ Remarque
Une telle fonction f est appelée une densité ou densité de probabilité.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur R par f (t) =
1
2
e
−|t| . Montrons que f est une densité d’une
variable aléatoire X.
La fonction f est positive et continue sur R. Pour tout x 0, on a
x
0
f (t) dt =
1
2
x
0
e
−t dt =
1
2
−e
−t
x
0
=
1
2
1 − e
−x
.
On en déduit lim
x→+∞
x
0
f (t) dt =
1
2
· Ainsi
+∞
0
f (t) dt converge et vaut
1
2
· Comme f est
paire, on en déduit
+∞
−∞
f (t) dt = 1.
La fonction f est une densité d’une variable aléatoire réelle.
2. Soit f la fonction définie par
f (t) =
⎧
⎨
⎩
0
s i t /
∈ ]1, 2]
a
√
t − 1
si t ∈ ]1, 2].
Déterminons a pour que f soit une densité d’une variable aléatoire réelle.
La fonction f est définie sur R continue sauf en 1 et 2, positive ou nulle si a 0. La
fonction f étant nulle en dehors de ]1, 2], il faut calculer
2
1
f (t) dt =
2
1
a
√
t − 1
dt. Cette
intégrale est généralisée en 1. Pour x ∈ ]1, 2], on a
2
x
f (t) dt =
2a
√
t − 1
2
x
= 2a(1 −
√
x − 1).
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