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Variables aléatoires réelles
à densité
Les variables aléatoires réelles à densité forment, avec les variables discrètes, le
deuxième cas particulier très important de la notion générale de variable aléatoire
réelle. Les résultats fondamentaux les concernant sont très proches du cas discret, à
condition de remplacer par exemple des sommes de séries par des intégrales, souvent
généralisées.
1. Notion de variable aléatoire réelle à densité
1.1 Définition
Définition 1
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (V, T , P), F sa fonction de répartition. On dit que X est une variable aléatoire réelle à densité s’il existe
une fonction f : R −→ R vérifiant :
1. f positive ou nulle ;
2. f continue sauf éventuellement en un nombre fini de points ;
3. l’intégrale
+∞
−∞
f (t) dt converge et
+∞
−∞
f (t) dt = 1 ;
telle que, pour tout réel x,
F(x) =
x
−∞
f (t) dt.
La fonction f est appelée une densité de X.
➤ Remarques
• Si la fonction f est discontinue en a1 < a2 < · · · < an la convergence de
+∞
−∞
f(t) dt équivaut à la convergence de chacune des intégrales
a1
−∞
f (t) dt,
a2
a1
f (t) dt,. . . ,
+∞
an
f(t) dt qui sont toutes généralisées.
La convergence de
+∞
−∞
f (t) dt implique celle de
x
−∞
f(t) dt pour tout réel x.