Chapitre 2 – Applications linéaires
est linéaire. Soient P, Q deux polynômes de K n [X] et l, m deux éléments de K. Alors
u(lP + mQ) = (lP + mQ) + (lP + mQ)
= l(P + P
) + m(Q + Q
) = lu(P) + mu(Q).
Donc u est linéaire.
Proposition 2
Soit u ∈ L(E, F). Pour tout n-uplet (x 1 , x 2 , . . . , x n ) d’éléments de E et n-uplet
(l 1 , l 2 , . . . , l n ) d’éléments de K, on a
u
n
k=1
l k x k
=
n
k=1
l k u(x k ).
Preuve
La démonstration se fait sans difficulté par récurrence sur n.
❑
1.2 Espace image, applications linéaires surjectives
Définition 2
Soit u ∈ L(E, F).
On appelle image de u et l’on note m(u) l’ensemble {y ∈ F | ∃x ∈ E f (x) = y} ;
c’est l’ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par u dans E.
Proposition 3
Soit u ∈ L(E, F), l’ensemble m(u) est un sous-espace vectoriel de F.
L’image par u de l’élément nul de E est l’élément nul de F ;
l’image de l’opposé d’un élément x de E est l’opposé de l’image de x.
Preuve
Voir le cours de première année.
❑
Proposition 4
Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de E, u une
application linéaire de E dans F et f 1 = u(e 1 ), f 2 = u(e 2 ), . . . , f p = u(e p ), les images des
vecteurs de la base de E.
La famille (f 1 , f 2 , . . . , f p ) est une famille génératrice de m(u).
L’application u est surjective si, et seulement si, la famille (f 1 , f 2 , . . . , f p ) est une famille
génératrice de F.
Preuve
Voir le cours de première année.
❑
26