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Applications linéaires
➤ Remarque
La proposition suivante montre que pour définir une application linéaire, il suffit de connaître la famille
(f1, f2, . . . , fp) des images d’une base de E.
Proposition 5
Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de E et
(f 1 , f 2 , . . . , f p ) une famille de vecteurs de F.
Il existe une unique application linéaire u de E vers F telle que u(e 1 ) = f 1 , . . . , u(e p ) = f p .
Preuve
Montrons d’abord l’existence d’une telle application. Définissons l’application u de E vers F qui à tout vecteur x
de coordonnées (l1, l2, . . . , lp) dans la base (e1, e2, . . . , ep) associe le vecteur
u(x) =
p
i=1
l i f i .
Pour tout i ∈ Ú1, pÛ, les coordonnées de e i étant (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), on a u(e i ) = f i . On vérifie aisément que
cette application est linéaire. u est donc une application qui satisfait les propriétés souhaitées.
Supposons que deux applications u1 et u2 conviennent. Soit x un élément de E avec x =
p
i=1
l i e i , on a
u1(x) = u1
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u1(e i ) =
p
i=1
l i f i
et de la même façon
u2(x) = u2
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u2(e i ) =
p
i=1
l i f i .
Ainsi, pour tout x ∈ E, u1(x) = u2(x), c’est-à-dire u1 = u2.
❑
➤ Remarque
En conséquence, pour démontrer l’égalité de deux application linéaires, u1 et u2, définies sur un espace E de
dimension finie, il suffit de démontrer que pour tout vecteur x appartenant à une base de E, on a u1(x) = u2(x).
1.3 Noyau, applications linéaires injectives
Définition 3
Soit u ∈ L(E, F).
On appelle noyau de u et l’on note Ker(u) l’ensemble Ker(u) = {x ∈ E | u(x) = 0 F }.
➤ Remarque
Le noyau d’une application linéaire est donc l’ensemble des antécédents du vecteur nul, cet ensemble contient au
moins 0E.
Proposition 6
Soit u ∈ L(E, F). L’ensemble Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E.
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Applications linéaires
➤ Remarque
La proposition suivante montre que pour définir une application linéaire, il suffit de connaître la famille
(f1, f2, . . . , fp) des images d’une base de E.
Proposition 5
Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de E et
(f 1 , f 2 , . . . , f p ) une famille de vecteurs de F.
Il existe une unique application linéaire u de E vers F telle que u(e 1 ) = f 1 , . . . , u(e p ) = f p .
Preuve
Montrons d’abord l’existence d’une telle application. Définissons l’application u de E vers F qui à tout vecteur x
de coordonnées (l1, l2, . . . , lp) dans la base (e1, e2, . . . , ep) associe le vecteur
u(x) =
p
i=1
l i f i .
Pour tout i ∈ Ú1, pÛ, les coordonnées de e i étant (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), on a u(e i ) = f i . On vérifie aisément que
cette application est linéaire. u est donc une application qui satisfait les propriétés souhaitées.
Supposons que deux applications u1 et u2 conviennent. Soit x un élément de E avec x =
p
i=1
l i e i , on a
u1(x) = u1
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u1(e i ) =
p
i=1
l i f i
et de la même façon
u2(x) = u2
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u2(e i ) =
p
i=1
l i f i .
Ainsi, pour tout x ∈ E, u1(x) = u2(x), c’est-à-dire u1 = u2.
❑
➤ Remarque
En conséquence, pour démontrer l’égalité de deux application linéaires, u1 et u2, définies sur un espace E de
dimension finie, il suffit de démontrer que pour tout vecteur x appartenant à une base de E, on a u1(x) = u2(x).
1.3 Noyau, applications linéaires injectives
Définition 3
Soit u ∈ L(E, F).
On appelle noyau de u et l’on note Ker(u) l’ensemble Ker(u) = {x ∈ E | u(x) = 0 F }.
➤ Remarque
Le noyau d’une application linéaire est donc l’ensemble des antécédents du vecteur nul, cet ensemble contient au
moins 0E.
Proposition 6
Soit u ∈ L(E, F). L’ensemble Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E.
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