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Applications linéaires
Montrons que u est une application linéaire. Soient x, y deux éléments K
3 avec
x = (x 1 , x 2 , x 3 ) et y = (y 1 , y 2 , y 3 ), on a
u(x + y) = u
(x 1 , x 2 , x 3 ) + (y 1 , y 2 , y 3 )
= u
(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 )
=
x 1 + y 1 − (x 2 + y 2 ) + 4 (x 3 + y 3 ) , 3 (x 1 + y 1 ) − (x 3 + y 3 )
= (x 1 − x 2 + 4x 3 + y 1 − y 2 + 4y 3 , 3x 1 − x 3 + 3y 1 − y 3 )
= (x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 ) + (y 1 − y 2 + 4y 3 , 3y 1 − y 3 )
= u(x) + u(y).
Soit de plus un scalaire l, on a alors
u(lx) = u
l (x 1 , x 2 , x 3 )
= u
(lx 1 , lx 2 , lx 3 )
= (lx 1 − lx 2 + 4lx 3 , 3lx 1 − lx 3 )
= l(x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 )
= lu(x).
Proposition 1 (Pour démontrer qu’une application est linéaire)
Soit u une application de E vers F, u est linéaire si pour tout couple (l, m) d’éléments de
K et tout couple (x, y) d’éléments de E
u(lx + my) = lu(x) + mu(y).
Preuve
Soit u ∈ L(E, F). Soient (x, y) un couple d’éléments de E et l, m deux éléments de K, on a en appliquant
successivement les propriétés des applications linéaires
u(lx + my) = u(lx) + u(my) = lu(x) + mu(y).
Réciproquement, soit u une application de E vers F vérifiant la propriété annoncée, montrons que u est
linéaire.
Soit (x, y) un couple d’éléments de E et l un scalaire, on a
u(x + y) = u(1x + 1y) = 1u(x) + 1u(y) = u(x) + u(y),
u(lx) = u(lx + 0 · 0E) = lu(x) + 0u(0E) = lu(x).
❑
Exemple
Vérifions à l’aide de ce critère que l’application
u :
K n [X] → K n [X]
P → P + P
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Applications linéaires
Montrons que u est une application linéaire. Soient x, y deux éléments K
3 avec
x = (x 1 , x 2 , x 3 ) et y = (y 1 , y 2 , y 3 ), on a
u(x + y) = u
(x 1 , x 2 , x 3 ) + (y 1 , y 2 , y 3 )
= u
(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 )
=
x 1 + y 1 − (x 2 + y 2 ) + 4 (x 3 + y 3 ) , 3 (x 1 + y 1 ) − (x 3 + y 3 )
= (x 1 − x 2 + 4x 3 + y 1 − y 2 + 4y 3 , 3x 1 − x 3 + 3y 1 − y 3 )
= (x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 ) + (y 1 − y 2 + 4y 3 , 3y 1 − y 3 )
= u(x) + u(y).
Soit de plus un scalaire l, on a alors
u(lx) = u
l (x 1 , x 2 , x 3 )
= u
(lx 1 , lx 2 , lx 3 )
= (lx 1 − lx 2 + 4lx 3 , 3lx 1 − lx 3 )
= l(x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 )
= lu(x).
Proposition 1 (Pour démontrer qu’une application est linéaire)
Soit u une application de E vers F, u est linéaire si pour tout couple (l, m) d’éléments de
K et tout couple (x, y) d’éléments de E
u(lx + my) = lu(x) + mu(y).
Preuve
Soit u ∈ L(E, F). Soient (x, y) un couple d’éléments de E et l, m deux éléments de K, on a en appliquant
successivement les propriétés des applications linéaires
u(lx + my) = u(lx) + u(my) = lu(x) + mu(y).
Réciproquement, soit u une application de E vers F vérifiant la propriété annoncée, montrons que u est
linéaire.
Soit (x, y) un couple d’éléments de E et l un scalaire, on a
u(x + y) = u(1x + 1y) = 1u(x) + 1u(y) = u(x) + u(y),
u(lx) = u(lx + 0 · 0E) = lu(x) + 0u(0E) = lu(x).
❑
Exemple
Vérifions à l’aide de ce critère que l’application
u :
K n [X] → K n [X]
P → P + P
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