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Applications linéaires
Dans tout ce chapitre, sauf indications contraires, les espaces vectoriels sont des espaces
vectoriels sur K qui est soit l’ensemble des réels R soit celui des complexes C.
1. Applications linéaires
1.1 Application linéaire de E dans F
Définition 1
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K. Une application u de E vers F est linéaire si
1. Pour tout couple (x, y) d’éléments de E, u(x + y) = u(x) + u(y).
2. Pour tout scalaire l de K et tout x vecteur de E, u(lx) = lu(x).
L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté L(E, F).
Une application linéaire de E vers E lui-même est appelée un endomorphisme et l’ensemble des endomorphismes est noté plus simplement L(E).
➤ Remarque
On peut dire qu’une application linéaire est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte leur structure
d’espace vectoriel.
Exemples
1. L’application de E vers F qui à tout vecteur x de E associe 0 F est une application linéaire
appelée l’application nulle, elle est notée 0 si il n’y a pas d’ambiguïté.
2. L’application de E vers E qui à tout vecteur x de E associe lui même est un endomorphisme
appelé l’endomorphisme identité, il est noté Id E .
3. L’application de K n [X] dans lui même qui à un polynôme P lui associe sa fonction dérivée P
est une application linéaire puisque la dérivée de P + Q est P
+ Q
et celle de lP
est lP
. La dérivation est donc un endomorphisme de K n [X].
4. Définissons l’application
u :
K
3
→ K
2
(x 1 , x 2 , x 3 ) → (x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 )
Applications linéaires
Dans tout ce chapitre, sauf indications contraires, les espaces vectoriels sont des espaces
vectoriels sur K qui est soit l’ensemble des réels R soit celui des complexes C.
1. Applications linéaires
1.1 Application linéaire de E dans F
Définition 1
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K. Une application u de E vers F est linéaire si
1. Pour tout couple (x, y) d’éléments de E, u(x + y) = u(x) + u(y).
2. Pour tout scalaire l de K et tout x vecteur de E, u(lx) = lu(x).
L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté L(E, F).
Une application linéaire de E vers E lui-même est appelée un endomorphisme et l’ensemble des endomorphismes est noté plus simplement L(E).
➤ Remarque
On peut dire qu’une application linéaire est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte leur structure
d’espace vectoriel.
Exemples
1. L’application de E vers F qui à tout vecteur x de E associe 0 F est une application linéaire
appelée l’application nulle, elle est notée 0 si il n’y a pas d’ambiguïté.
2. L’application de E vers E qui à tout vecteur x de E associe lui même est un endomorphisme
appelé l’endomorphisme identité, il est noté Id E .
3. L’application de K n [X] dans lui même qui à un polynôme P lui associe sa fonction dérivée P
est une application linéaire puisque la dérivée de P + Q est P
+ Q
et celle de lP
est lP
. La dérivation est donc un endomorphisme de K n [X].
4. Définissons l’application
u :
K
3
→ K
2
(x 1 , x 2 , x 3 ) → (x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 )