EXERCICES
4. Soit E le sous-espace vectoriel de R
N des suites réelles convergentes, F l’ensemble des suites
convergeant vers 0 et G l’ensemble des suites constantes.
Montrer que F et G sont des sous-espaces de E et démontrer que l’on a E = F ⊕ G.
7.
Polynômes de Lagrange
Soit n un entier naturel non nul et soit (x i ) i∈Ú0,nÛ une suite de n + 1 scalaires distincts.
1. Montrer qu’il existe pour chaque i 0 de Ú0, nÛ un polynôme P i0 de degré n qui vaut 1 en x i0
et qui a pour racine les n réels {x i |0 i n, i = i 0 }.
2. Montrer que la famille de polynômes (P i ) i∈Ú0,nÛ est une famille génératrice de K
n [X].
3. Soit (y i ) i∈Ú0,nÛ une suite de n + 1 scalaires. Montrer qu’il existe un et un seul polynôme Q
de degré inférieur ou égal à n tel que pour tout i ∈ Ú0, nÛ on ait Q(x i ) = y i .
8.
1. L’union de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel en
général.
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, démontrer l’équivalence
F ∪ G est un sous-espace de E ⇐⇒ (F ⊂ G ou G ⊂ F).
2. Soit F G et H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, démontrer l’implication
G ⊂ F =⇒ F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H).
9.
On note M 3 (R) l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre trois et on considère
les matrices suivantes de M 3 (R)
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A =
1 1 1
1 0 0
1 0 0
1. Calculer A
2 et A
3 , puis vérifier : A
3 = A
2 + 2A.
2. Montrer que la famille
A, A
2
est libre dans M 3 (R).
3. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (a n , b n ) de
nombres réels tel que : A
n = a n A + b n A
2 , et exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n .
4. a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1
a n+2 = a n+1 + 2a n
b. En déduire a n et b n en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
c. Donner l’expression de A
n en fonction de A, A
2 et n, pour tout entier n supérieur ou
égal à 1.
10.
Soit n un entier naturel.
Montrer que la famille de vecteurs
(X − 1)
k (X + 1)
n−k
0kn
est une base de K n [X].
23