Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Déterminer la dimension et une base simple de E f dans chacun des cas suivants.
1. La fonction f est la fonction exponentielle.
2. La fonction f est la fonction sinus.
3. La fonction f est définie par f : x → x
2 .
4. La fonction f est définie par f : x → xe
x .
5. La fonction f est définie par f : x → e
x
2 .
5.
1. Soient (u n ), (v n ), (w n ) trois suites réelles définies pour n ∈ N par
u n = 2
n , v n = (−3)
n , w n = n2
n .
Montrer que
(u n ) , (v n ) , (w n )
est une famille libre du R-espace vectoriel R
N des suites
réelles.
2. On définit le sous-ensemble E de R
N par
E =
(t n ) ∈ R
N
∀n ∈ N, t n+3 = t n+2 + 8t n+1 − 12t n
.
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R
N .
b. En remarquant que toute suite (t n ) élément de E peut être définie par la donnée des
trois premiers termes de cette suite et la relation R : ∀n ∈ N, t n+3 = t n+2 + t n+1 − 12t n ,
montrer que les suites (a n ), (b n ) et (c n ) de E définies par les égalités ci-dessous forment
une famille génératrice de E.
(a 0 , a 1 , a 2 ) = (1, 0, 0)
(b 0 , b 1 , b 2 ) = (0, 1, 0)
(c 0 , c 1 , c 2 ) = (0, 0, 1)
c. Vérifier que les suites (u n ), (v n ) et (w n ) sont des éléments de E puis donner l’expression
générale des éléments de E.
6.
Somme directe de sous-espaces
1. Soit E = K 3 [X], F = {P ∈ E|P(1) = P(2) = 0}, et G = {P ∈ E|P(3) = P(4) = 0}.
Montrer que F et G sont des sous-espaces de E = K 3 [X] et démontrer que l’on a
E = F ⊕ G.
Autrement dit : Tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3 s’écrit de façon unique
comme somme de deux polynômes de degré inférieur ou égal à 3, l’un nul en 1 et 2 et
l’autre nul en 3 et 4.
2. Soit E = M n (K), S l’ensemble des matrices symétriques de M n (K) et A l’ensemble des
matrices antisymétriques de M n (K) c’est-à-dire les matrices qui sont égales à l’opposé de
leur transposée.
Montrer que S et A sont des sous-espaces de E = M n (K) et démontrer que l’on a
F = S ⊕ A.
3. Soit E = C
1 (R, R), F l’ensemble des fonctions de C
1 (R, R) telles que f (0) = f
(0) = 0 et
G l’ensemble des fonctions affines définies sur R.
Montrer que F et G sont des sous-espaces de E et démontrer que l’on a E = F ⊕ G.
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Déterminer la dimension et une base simple de E f dans chacun des cas suivants.
1. La fonction f est la fonction exponentielle.
2. La fonction f est la fonction sinus.
3. La fonction f est définie par f : x → x
2 .
4. La fonction f est définie par f : x → xe
x .
5. La fonction f est définie par f : x → e
x
2 .
5.
1. Soient (u n ), (v n ), (w n ) trois suites réelles définies pour n ∈ N par
u n = 2
n , v n = (−3)
n , w n = n2
n .
Montrer que
(u n ) , (v n ) , (w n )
est une famille libre du R-espace vectoriel R
N des suites
réelles.
2. On définit le sous-ensemble E de R
N par
E =
(t n ) ∈ R
N
∀n ∈ N, t n+3 = t n+2 + 8t n+1 − 12t n
.
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R
N .
b. En remarquant que toute suite (t n ) élément de E peut être définie par la donnée des
trois premiers termes de cette suite et la relation R : ∀n ∈ N, t n+3 = t n+2 + t n+1 − 12t n ,
montrer que les suites (a n ), (b n ) et (c n ) de E définies par les égalités ci-dessous forment
une famille génératrice de E.
(a 0 , a 1 , a 2 ) = (1, 0, 0)
(b 0 , b 1 , b 2 ) = (0, 1, 0)
(c 0 , c 1 , c 2 ) = (0, 0, 1)
c. Vérifier que les suites (u n ), (v n ) et (w n ) sont des éléments de E puis donner l’expression
générale des éléments de E.
6.
Somme directe de sous-espaces
1. Soit E = K 3 [X], F = {P ∈ E|P(1) = P(2) = 0}, et G = {P ∈ E|P(3) = P(4) = 0}.
Montrer que F et G sont des sous-espaces de E = K 3 [X] et démontrer que l’on a
E = F ⊕ G.
Autrement dit : Tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3 s’écrit de façon unique
comme somme de deux polynômes de degré inférieur ou égal à 3, l’un nul en 1 et 2 et
l’autre nul en 3 et 4.
2. Soit E = M n (K), S l’ensemble des matrices symétriques de M n (K) et A l’ensemble des
matrices antisymétriques de M n (K) c’est-à-dire les matrices qui sont égales à l’opposé de
leur transposée.
Montrer que S et A sont des sous-espaces de E = M n (K) et démontrer que l’on a
F = S ⊕ A.
3. Soit E = C
1 (R, R), F l’ensemble des fonctions de C
1 (R, R) telles que f (0) = f
(0) = 0 et
G l’ensemble des fonctions affines définies sur R.
Montrer que F et G sont des sous-espaces de E et démontrer que l’on a E = F ⊕ G.
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