1.
1. Déterminer une base des sous-espaces vectoriels de C
2 définis par
a. A = Vect
(1, i − 2) , (2 + i, −5)
,
b. B = Vect
(i, 2) , (3, 4i) , (i, 7)
.
2. Déterminer une base des sous-espaces vectoriels de R
3 définis par
a. A = Vect
(1, 3, −3) , (4, 2, −3) , (−1, 7, 6)
b. B = Vect
(4, −5, 3) , (2, 3, −2) , (4, −16, 10) , (8, 1, −1)
c. C = Vect
(1, 1, −2) , (2, 1, −3) , (0, 1, −1)
d. D = Vect
(1, 4, −3) , (−2, −8, 6)
2.
1. Soit E le sous-ensemble de K
4 défini par
E =
(x, y, z, t) ∈ K
4
|2x + y − z + 2t = 0, x + y + z = 0
.
Est-ce que E est sous-espace vectoriel de K
4 ? Si oui, en donner une base et sa dimension.
2. Inversement, déterminer des équations caractérisant les éléments du sous-espace F de K
4
défini par
F = Vect
(−1, 2, 1, −1), (3, 1, 0, −1)
.
3.
Dans l’espace vectoriel M 4,1 (R), on définit les 5 vecteurs suivants
v 1 =
⎛
⎜
⎝
−1
1
1
−3
⎞
⎟
⎠ , v 2 =
⎛
⎜
⎝
1
3
−1
−1
⎞
⎟
⎠ , v 3 =
⎛
⎜
⎝
1
1
−1
1
⎞
⎟
⎠ , v 4 =
⎛
⎜
⎝
2
1
2
1
⎞
⎟
⎠ , v 5 =
⎛
⎜
⎝
3
3
1
1
⎞
⎟
⎠ .
On définit F = Vect(v 1 , v 2 , v 3 ) et G = Vect(v 4 , v 5 )
1. Déterminer une base et la dimension du sous-espace F ∩ G.
2. Compléter cette première base pour obtenir des bases des sous-espaces vectoriels F, G et
finalement F + G.
3. Vérifier que l’on a bien dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
4. Généralisation. On considère maintenant un K-espace vectoriel E et deux sous-espaces
vectoriels F et G de E de dimension finie p et q respectivement .
a. Expliquer pourquoi F ∩ G est de dimension finie ; on pose r = dim(F ∩ G) et, si r = 0,
on en définit une base B I = (l 1 , l 2 , . . . , l r ).
b. Expliquer pourquoi on a r p et r q ; Compléter éventuellement la base B I pour
obtenir d’une part une base B F de F et d’autre part une base B G de G.
c. Expliquer pourquoi F + G est de dimension finie. En considérant les vecteurs de B F et
B G , déterminer la dimension de F + G. Conclure que l’on a
dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
4.
On se place dans l’espace vectoriel des fonctions définis sur R.
Pour toute fonction f et pour tout réel k, on note f k la fonction f k : x → f (x + k).
Pour toute fonction f , on note E f le sous-espace vectoriel
E f = Vect
f 0 , f 1 , f 2 , f 3
.
21
1. Déterminer une base des sous-espaces vectoriels de C
2 définis par
a. A = Vect
(1, i − 2) , (2 + i, −5)
,
b. B = Vect
(i, 2) , (3, 4i) , (i, 7)
.
2. Déterminer une base des sous-espaces vectoriels de R
3 définis par
a. A = Vect
(1, 3, −3) , (4, 2, −3) , (−1, 7, 6)
b. B = Vect
(4, −5, 3) , (2, 3, −2) , (4, −16, 10) , (8, 1, −1)
c. C = Vect
(1, 1, −2) , (2, 1, −3) , (0, 1, −1)
d. D = Vect
(1, 4, −3) , (−2, −8, 6)
2.
1. Soit E le sous-ensemble de K
4 défini par
E =
(x, y, z, t) ∈ K
4
|2x + y − z + 2t = 0, x + y + z = 0
.
Est-ce que E est sous-espace vectoriel de K
4 ? Si oui, en donner une base et sa dimension.
2. Inversement, déterminer des équations caractérisant les éléments du sous-espace F de K
4
défini par
F = Vect
(−1, 2, 1, −1), (3, 1, 0, −1)
.
3.
Dans l’espace vectoriel M 4,1 (R), on définit les 5 vecteurs suivants
v 1 =
⎛
⎜
⎝
−1
1
1
−3
⎞
⎟
⎠ , v 2 =
⎛
⎜
⎝
1
3
−1
−1
⎞
⎟
⎠ , v 3 =
⎛
⎜
⎝
1
1
−1
1
⎞
⎟
⎠ , v 4 =
⎛
⎜
⎝
2
1
2
1
⎞
⎟
⎠ , v 5 =
⎛
⎜
⎝
3
3
1
1
⎞
⎟
⎠ .
On définit F = Vect(v 1 , v 2 , v 3 ) et G = Vect(v 4 , v 5 )
1. Déterminer une base et la dimension du sous-espace F ∩ G.
2. Compléter cette première base pour obtenir des bases des sous-espaces vectoriels F, G et
finalement F + G.
3. Vérifier que l’on a bien dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
4. Généralisation. On considère maintenant un K-espace vectoriel E et deux sous-espaces
vectoriels F et G de E de dimension finie p et q respectivement .
a. Expliquer pourquoi F ∩ G est de dimension finie ; on pose r = dim(F ∩ G) et, si r = 0,
on en définit une base B I = (l 1 , l 2 , . . . , l r ).
b. Expliquer pourquoi on a r p et r q ; Compléter éventuellement la base B I pour
obtenir d’une part une base B F de F et d’autre part une base B G de G.
c. Expliquer pourquoi F + G est de dimension finie. En considérant les vecteurs de B F et
B G , déterminer la dimension de F + G. Conclure que l’on a
dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
4.
On se place dans l’espace vectoriel des fonctions définis sur R.
Pour toute fonction f et pour tout réel k, on note f k la fonction f k : x → f (x + k).
Pour toute fonction f , on note E f le sous-espace vectoriel
E f = Vect
f 0 , f 1 , f 2 , f 3
.
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