Chapitre 1 – Espaces vectoriels
La famille (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) est libre et génératrice de E, la réunion d’une base de F1 et de F2 est donc
une base de E.
Supposons maintenant que la juxtaposition des vecteurs de (e1, . . . , en 1 ), base de F1, et de (e
1 , . . . , e
n2 ), base
de F2, est une base de E. Nous avons alors dim(F1) + dim(F2) = dim(E). De plus F1 + F2 est un sous-espace de E
qui contient la famille libre (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) de n1 + n2 vecteurs. Nous avons donc
n1 + n2 dim(F1 + F2) dim(E) n1 + n2
et donc
dim(F1 + F2) = dim(F1) + dim(F2) = dim(E).
Supposons maintenaient que l’on ait dim(F1 + F2) = dim(F1) + dim(F2) = dim(E). Le sous espace F1 + F2 de E a
la même dimension que E, on a donc E = F1 + F2.
La famille (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) est donc une famille génératrice de E qui a n1 + n2 = dim(E) vecteurs, elle
est donc aussi libre. Soit x un élément de F1 ∩ F2, alors il existe des scalaires l1, . . . , ln 1 , l
1 , . . . , l
n2 tels que
x = l1e1 + · · · + ln 1 en 1 = l
1 e
1 + · · · + l
n2 en 2 , nous avons donc
l1e1 + · · · + ln 1 en 1 − l
1 e
1 − · · · − l
n2 en 2 = 0
et donc
l1 = l2 = · · · = ln 1 = l
1 = l
2 = · · · = l
n2 = 0.
L’intersection F1 ∩ F2 est réduite à {0} et les sous-espaces F1 et F2 sont supplémentaires.
Ceci achève la démonstration puisque nous avons successivement démontré que la ligne 1 du théorème
implique la ligne 2, que la ligne 2 implique la ligne 3, et que la ligne 3 implique la première ligne ; les trois
lignes sont donc équivalentes.
❑
Proposition 13
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Pour tout sous-espace F 1 de E, il existe
un sous-espace F 2 supplémentaire de F 1 ; si de plus F 1 est différent de {0} et de E, l’espace
F 2 n’est pas unique.
Preuve
L’espace E n’a qu’un espace supplémentaire, c’est {0} ; de même l’espace {0} n’a qu’un espace supplémentaire,
c’est E.
Soit F1 un sous-espace de E de dimension finie n différent de {0} et de E, soit (e1, . . . , en 1 ) une base de F1 ; nous
avons alors n1 ∈ Ú1; n − 1Û. La famille (e1, . . . , en 1 ) est une partie libre de F1, c’est une partie libre de E que nous
pouvons compléter par les vecteurs (e
1 , . . . , e
n2 ) pour en faire une base de E avec n2 = n − n1 ∈ Ú1; n − 1Û.
Posons F2 = Vect((e
1 , . . . , e
n2 )). Les espaces F1 et F2 sont supplémentaires.
L’espace F2 n’est pas unique, nous pouvons obtenir un espace F2 différent en substituant e
1 + e1 à e
1 par
exemple.
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La famille (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) est libre et génératrice de E, la réunion d’une base de F1 et de F2 est donc
une base de E.
Supposons maintenant que la juxtaposition des vecteurs de (e1, . . . , en 1 ), base de F1, et de (e
1 , . . . , e
n2 ), base
de F2, est une base de E. Nous avons alors dim(F1) + dim(F2) = dim(E). De plus F1 + F2 est un sous-espace de E
qui contient la famille libre (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) de n1 + n2 vecteurs. Nous avons donc
n1 + n2 dim(F1 + F2) dim(E) n1 + n2
et donc
dim(F1 + F2) = dim(F1) + dim(F2) = dim(E).
Supposons maintenaient que l’on ait dim(F1 + F2) = dim(F1) + dim(F2) = dim(E). Le sous espace F1 + F2 de E a
la même dimension que E, on a donc E = F1 + F2.
La famille (e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ) est donc une famille génératrice de E qui a n1 + n2 = dim(E) vecteurs, elle
est donc aussi libre. Soit x un élément de F1 ∩ F2, alors il existe des scalaires l1, . . . , ln 1 , l
1 , . . . , l
n2 tels que
x = l1e1 + · · · + ln 1 en 1 = l
1 e
1 + · · · + l
n2 en 2 , nous avons donc
l1e1 + · · · + ln 1 en 1 − l
1 e
1 − · · · − l
n2 en 2 = 0
et donc
l1 = l2 = · · · = ln 1 = l
1 = l
2 = · · · = l
n2 = 0.
L’intersection F1 ∩ F2 est réduite à {0} et les sous-espaces F1 et F2 sont supplémentaires.
Ceci achève la démonstration puisque nous avons successivement démontré que la ligne 1 du théorème
implique la ligne 2, que la ligne 2 implique la ligne 3, et que la ligne 3 implique la première ligne ; les trois
lignes sont donc équivalentes.
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Proposition 13
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Pour tout sous-espace F 1 de E, il existe
un sous-espace F 2 supplémentaire de F 1 ; si de plus F 1 est différent de {0} et de E, l’espace
F 2 n’est pas unique.
Preuve
L’espace E n’a qu’un espace supplémentaire, c’est {0} ; de même l’espace {0} n’a qu’un espace supplémentaire,
c’est E.
Soit F1 un sous-espace de E de dimension finie n différent de {0} et de E, soit (e1, . . . , en 1 ) une base de F1 ; nous
avons alors n1 ∈ Ú1; n − 1Û. La famille (e1, . . . , en 1 ) est une partie libre de F1, c’est une partie libre de E que nous
pouvons compléter par les vecteurs (e
1 , . . . , e
n2 ) pour en faire une base de E avec n2 = n − n1 ∈ Ú1; n − 1Û.
Posons F2 = Vect((e
1 , . . . , e
n2 )). Les espaces F1 et F2 sont supplémentaires.
L’espace F2 n’est pas unique, nous pouvons obtenir un espace F2 différent en substituant e
1 + e1 à e
1 par
exemple.
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