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Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
clairement (1, 1, 0) ∈ F. Recherchons un réel l tel que u − l(1, 1, 0) ∈ G. On a
u − l(1, 1, 0) ∈ G ⇔ (x − l, y − l, z) ∈ G
⇔ (x − l) + (y − l) − z = 0
⇔ l =
x + y − z
2
·
On en déduit qu’en posant l =
x + y − z
2
, on a
u = l(1, 1, 0)
∈F
+ u − l(1, 1, 0)
∈G
et donc R
3 = F + G.
Néanmoins, F et G ne sont pas supplémentaires. Cherchons par exemple un vecteur non
nul de F ∩ G. Soit u un vecteur de R
3 avec u = (x, y, z), on a
u ∈ F ∩ G ⇐⇒
x − y + z = 0
x + y − z = 0
⇐⇒
x − y + z = 0
2y − 2z = 0
⇐⇒
x = 0
y = z
On en déduit qu’on a par exemple (0, 1, 1) ∈ F ∩ G. En particulier F ∩ G = {0} et F et
G ne sont donc pas supplémentaires.
Proposition 12
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F 1 et F 2 deux sous-espaces de E. On a alors
les équivalences
F 1 et F 2 sont supplémentaires
⇔ La « juxtaposition »d’une base de F 1 et d’une base de F 2 est une base de E
⇔ dim(F 1 + F 2 ) = dim(F 1 ) + dim(F 2 ) = dim(E).
Preuve
Posons n1 = dim(F1) et n2 = dim(F2) ; soit (e1, . . . , en 1 ) une base de F1 et (e
1 , . . . , e
n2 ) une base de F2.
Supposons F1 et F2 supplémentaires. Alors tout élément x de E peut s’écrire x = x1 + x2 avec
x1 ∈ Vect(e1, . . . , en 1 ) et x2 ∈ Vect(e
1 , . . . , e
n2 ), donc x ∈ Vect(e1, . . . , en 1 , e
1 , . . . , e
n2 ).
Par ailleurs, considérons dans E la combinaison linéaire nulle
l1e1 + · · · + ln 1 en 1
∈F1
+ l
1 e
1 + · · · + l
n2 e
n2
∈F2
= 0E.
Notons 0F 1 et 0F 2 les vecteurs nuls de F1 et F2 respectivement (même si nous savons que 0F 1 = 0F 2 = 0E). A
cause de l’unicité de l’écriture de 0E comme 0F 1 + 0F 2 , somme d’un élément de F1 et d’un élément de F2 nous
avons
l1e1 + · · · + ln 1 en 1 = 0F 1 et l
1 e
1 + · · · + l
n2 e
n2 = 0F 2
et donc
l1 = l2 = · · · = ln 1 = l
1 = l
2 = · · · = l
n2 = 0
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