EXERCICES
1. Déterminer la loi du couple (Y, Z) et les lois des marginales. Montrer que Y et Z ont même
loi si et seulement si p =
1
2
.
2. Montrer que E(Y ) E(Z) = 2, V (Y ) V (Z) 2.
3. Montrer que Cov(Y, Z) = −
(p − q)
2
pq
.
4. Montrer que Y et Z sont indépendantes si et seulement si p =
1
2
·
10.
Marche aléatoire dans Z
2
Une puce fait une suite de sauts de longueur 1 ; chaque saut est effectué au hasard dans l’une
des directions nord, sud, est, ouest. On note M n sa position après n sauts et O = M 0 . Le plan
est muni d’un repère orthonormal d’origine O, dont les axes ont une direction est-ouest et
nord-sud. On note (X n , Y n ) les coordonnées de M n .
1. Pour n ∈ N, calculer E(X n ) et E(X
2
n ). On pourra introduire, pour n 1 la variable aléatoire
T n = X n − X n−1 .
2. Déterminer E(Y n ) et E(Y
2
n ). En déduire E(OM
2
n ). Montrer que E(OM n )
√
n.
3. Les variables X n et Y n sont-elles indépendantes ?
4. Calculer la probabilité a n que la puce sont revenue à l’origine après n déplacements .
11.
On considère des variables à valeurs dans Z. On dit qu’une variable aléatoire X est
symétrique si P([X = −m]) = P([X = m]) pour tout m ∈ Z.
1. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi, alors
X − Y est symétrique.
2. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et symétriques, alors
X + Y est symétrique.
3. En déduire, plus généralement que, si pour un entier n 2, X 1 , . . . , X n sont des variables
indépendantes et symétriques, alors leur somme est symétrique.
12.
On admettra que, pour tout k ∈ N et tout x ∈ ]−1, 1[, on a
+∞
n=k
n
k
x
n =
x
k
(1 − x) k+1 .
Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique (la probabilité d’obtenir pile
est p ∈ ]0, 1[) de la façon suivante.
Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu’à obtenir pour la première fois pile. On note N
la nombre aléatoire de lancers nécessaires.
Dans un deuxième temps, si le premier pile était apparu au n-ième lancer, il lance cette même
pièce n fois et l’on note X le nombre aléatoire de piles obtenus au cours de cette seconde série
de lancers.
1. Déterminer la loi du couple (N, X).
311
1. Déterminer la loi du couple (Y, Z) et les lois des marginales. Montrer que Y et Z ont même
loi si et seulement si p =
1
2
.
2. Montrer que E(Y ) E(Z) = 2, V (Y ) V (Z) 2.
3. Montrer que Cov(Y, Z) = −
(p − q)
2
pq
.
4. Montrer que Y et Z sont indépendantes si et seulement si p =
1
2
·
10.
Marche aléatoire dans Z
2
Une puce fait une suite de sauts de longueur 1 ; chaque saut est effectué au hasard dans l’une
des directions nord, sud, est, ouest. On note M n sa position après n sauts et O = M 0 . Le plan
est muni d’un repère orthonormal d’origine O, dont les axes ont une direction est-ouest et
nord-sud. On note (X n , Y n ) les coordonnées de M n .
1. Pour n ∈ N, calculer E(X n ) et E(X
2
n ). On pourra introduire, pour n 1 la variable aléatoire
T n = X n − X n−1 .
2. Déterminer E(Y n ) et E(Y
2
n ). En déduire E(OM
2
n ). Montrer que E(OM n )
√
n.
3. Les variables X n et Y n sont-elles indépendantes ?
4. Calculer la probabilité a n que la puce sont revenue à l’origine après n déplacements .
11.
On considère des variables à valeurs dans Z. On dit qu’une variable aléatoire X est
symétrique si P([X = −m]) = P([X = m]) pour tout m ∈ Z.
1. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi, alors
X − Y est symétrique.
2. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et symétriques, alors
X + Y est symétrique.
3. En déduire, plus généralement que, si pour un entier n 2, X 1 , . . . , X n sont des variables
indépendantes et symétriques, alors leur somme est symétrique.
12.
On admettra que, pour tout k ∈ N et tout x ∈ ]−1, 1[, on a
+∞
n=k
n
k
x
n =
x
k
(1 − x) k+1 .
Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique (la probabilité d’obtenir pile
est p ∈ ]0, 1[) de la façon suivante.
Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu’à obtenir pour la première fois pile. On note N
la nombre aléatoire de lancers nécessaires.
Dans un deuxième temps, si le premier pile était apparu au n-ième lancer, il lance cette même
pièce n fois et l’on note X le nombre aléatoire de piles obtenus au cours de cette seconde série
de lancers.
1. Déterminer la loi du couple (N, X).
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