Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
3. On considère une population dans laquelle chaque individu peut se reproduire et donner
naissance ainsi à de nouveaux individus, que l’on appellera ses descendants directs. On
suppose que chaque individu peut produire au plus N descendants directs, que les individus
se reproduisent de façon indépendante et avec la même loi.
La génération initiale à l’instant n = 0 est constituée d’un seul individu. L’ensemble des
descendants directs de la n-ième génération est appelé la (n + 1)-ième génération. On note
U n le nombre d’individus de la n-ième génération.
Montrer que, pour tout n ∈ N, E(U n ) = (E(U 1 ))
n .
4. Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p et T une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre l,
indépendante des variables X n . On pose S = X 1 + · · ·+ X T (défini comme précédemment).
Déterminer la loi de S. Vérifier que E(S) = E(X 1 )E(T ).
7.
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même
loi. On pose U = inf(X, Y ) et V = X − Y .
1. On suppose que pour tout n ∈ N, P
[X = n]
= p q
n où 0 < p < 1 et q = 1 − p. Montrer
que
∀(i, j) ∈ N × Z, P
[U = i] ∩ [V = j]
= p
2 q
2i+|j| .
En déduire les lois de U et V . Montrer que les variables U et V sont indépendantes.
2. Inversement, on suppose que les variables U et V sont indépendantes et que pour tout
n ∈ N, P
[X = n]
= 0. On pose r =
P
[V = 1]
P
[V = 0]
·
a. Montrer que, pour tout n ∈ N,
P
[X = n + 1] ∩ [Y = n]
P
[X = n] ∩ [Y = n]
=
P([U = n] ∩ [V = 1]
P
[U = n] ∩ [V = 0]
= r.
b. Déterminer les lois de X et Y en fonction de r. Conclure
8.
Soit X et Y deux variables à valeurs dans N, possédant une espérance et vérifiant
Y X. On suppose que, pour tout n ∈ N, la loi de Y conditionnelle à [X = n] est la loi
uniforme sur [[0, n]].
1. Montrer que,
∀n ∈ N, P([X = n]) = (n+1)(P([Y = n])−P([Y = n+1])) et P([X−Y = n]) = P([Y = n]).
Calculer E(X) en fonction de E(Y ).
2. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
a. il existe p ∈ ]0, 1] tel que, pour tout n ∈ N, P([Y = n]) = q
n p (où q = 1 − p) ;
b. les variables X − Y et Y sont indépendantes.
9.
Soit (X n ) n∈N ∗ une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même
paramètre p ∈ ]0, 1[. On note Y la variable aléatoire égale au plus grand entier i tel
que X 1 = X 2 = · · · = X i et Z la variable aléatoire égale au plus grand entier j tel que
X L+1 = · · · = X L+j .
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3. On considère une population dans laquelle chaque individu peut se reproduire et donner
naissance ainsi à de nouveaux individus, que l’on appellera ses descendants directs. On
suppose que chaque individu peut produire au plus N descendants directs, que les individus
se reproduisent de façon indépendante et avec la même loi.
La génération initiale à l’instant n = 0 est constituée d’un seul individu. L’ensemble des
descendants directs de la n-ième génération est appelé la (n + 1)-ième génération. On note
U n le nombre d’individus de la n-ième génération.
Montrer que, pour tout n ∈ N, E(U n ) = (E(U 1 ))
n .
4. Soit (X n ) n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p et T une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre l,
indépendante des variables X n . On pose S = X 1 + · · ·+ X T (défini comme précédemment).
Déterminer la loi de S. Vérifier que E(S) = E(X 1 )E(T ).
7.
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même
loi. On pose U = inf(X, Y ) et V = X − Y .
1. On suppose que pour tout n ∈ N, P
[X = n]
= p q
n où 0 < p < 1 et q = 1 − p. Montrer
que
∀(i, j) ∈ N × Z, P
[U = i] ∩ [V = j]
= p
2 q
2i+|j| .
En déduire les lois de U et V . Montrer que les variables U et V sont indépendantes.
2. Inversement, on suppose que les variables U et V sont indépendantes et que pour tout
n ∈ N, P
[X = n]
= 0. On pose r =
P
[V = 1]
P
[V = 0]
·
a. Montrer que, pour tout n ∈ N,
P
[X = n + 1] ∩ [Y = n]
P
[X = n] ∩ [Y = n]
=
P([U = n] ∩ [V = 1]
P
[U = n] ∩ [V = 0]
= r.
b. Déterminer les lois de X et Y en fonction de r. Conclure
8.
Soit X et Y deux variables à valeurs dans N, possédant une espérance et vérifiant
Y X. On suppose que, pour tout n ∈ N, la loi de Y conditionnelle à [X = n] est la loi
uniforme sur [[0, n]].
1. Montrer que,
∀n ∈ N, P([X = n]) = (n+1)(P([Y = n])−P([Y = n+1])) et P([X−Y = n]) = P([Y = n]).
Calculer E(X) en fonction de E(Y ).
2. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
a. il existe p ∈ ]0, 1] tel que, pour tout n ∈ N, P([Y = n]) = q
n p (où q = 1 − p) ;
b. les variables X − Y et Y sont indépendantes.
9.
Soit (X n ) n∈N ∗ une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même
paramètre p ∈ ]0, 1[. On note Y la variable aléatoire égale au plus grand entier i tel
que X 1 = X 2 = · · · = X i et Z la variable aléatoire égale au plus grand entier j tel que
X L+1 = · · · = X L+j .
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