EXERCICES
4.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, à valeurs dans N, X
suivant la loi géométrique à valeurs dans N de paramètre a (a ∈ ]0, 1[).
On considère la variable aléatoire réelle définie par Z =
X − Y si X > Y
0
sinon.
Déterminer la loi de Z en fonction de celle de Y et montrer qu’elle ne dépend que de
a = E
(1 − a)
Y
.
5.
On considère une variable aléatoire discrète N telle que N(V) = N et
P([N = n]) = 0 pour tout n ∈ N. Si la variable N prend la valeur n, on décide de procéder
à une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p (0 < p < 1).
On note S et E les variables aléatoires représentant respectivement le nombre de succès et
d’échecs dans ces n épreuves.
1. Montrer que si N suit une loi de Poisson de paramètre l > 0, les variables S et E suivent
aussi des lois de Poisson dont on déterminera les paramètres. Montrer que les variables E et
S sont indépendantes.
2. Montrer réciproquement que si S et E sont indépendantes, alors N suit une loi de Poisson.
Pour cela, on montrera
a. qu’il existe deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N telles que, pour tout (m, n) ∈ N
2 ,
(m + n)!P(N = m + n) = u m v n ;
b. que les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont géométriques.
6.
1. Soit X une variable discrète. On note X(V) = {x i , i ∈ N}. Pour tout événement
A de probabilité non nulle, on appelle espérance conditionnelle de X sachant A, quand la série
converge absolument, le réel
E(X/A) =
+∞
j=0
x i P([X = x i ]/A).
Soit N un entier strictement positif et T une variable aléatoire à valeurs dans {0, . . . , N}.
a. On suppose que X possède une espérance. Monter que E(X/[T = k]) est défini pour
tout k ∈ N et que
E(X) =
N
k=0
E(X/[T = k])P([T = k]). (∗)
b. On suppose réciproquement que E(X/[T = k]) est défini pour tout k ∈ {0, . . . , N}.
Montrer que X possède une espérance donnée par (∗).
2. On considère N variables aléatoires discrètes X 1 , . . . , X N , de même loi, possédant une
espérance. On suppose que les variables X 1 , . . . , X N et T sont indépendantes.
On note S la variable aléatoire définie par S = X 1 + · · · + X T , c’est-à-dire
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
S(v) = 0
s iT (v) = 0
S(v) =
T(v)
i=1
X i (v) si T (v) 1.
Montrer que E(S) = E(T )E(X 1 ).
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4.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, à valeurs dans N, X
suivant la loi géométrique à valeurs dans N de paramètre a (a ∈ ]0, 1[).
On considère la variable aléatoire réelle définie par Z =
X − Y si X > Y
0
sinon.
Déterminer la loi de Z en fonction de celle de Y et montrer qu’elle ne dépend que de
a = E
(1 − a)
Y
.
5.
On considère une variable aléatoire discrète N telle que N(V) = N et
P([N = n]) = 0 pour tout n ∈ N. Si la variable N prend la valeur n, on décide de procéder
à une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p (0 < p < 1).
On note S et E les variables aléatoires représentant respectivement le nombre de succès et
d’échecs dans ces n épreuves.
1. Montrer que si N suit une loi de Poisson de paramètre l > 0, les variables S et E suivent
aussi des lois de Poisson dont on déterminera les paramètres. Montrer que les variables E et
S sont indépendantes.
2. Montrer réciproquement que si S et E sont indépendantes, alors N suit une loi de Poisson.
Pour cela, on montrera
a. qu’il existe deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N telles que, pour tout (m, n) ∈ N
2 ,
(m + n)!P(N = m + n) = u m v n ;
b. que les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont géométriques.
6.
1. Soit X une variable discrète. On note X(V) = {x i , i ∈ N}. Pour tout événement
A de probabilité non nulle, on appelle espérance conditionnelle de X sachant A, quand la série
converge absolument, le réel
E(X/A) =
+∞
j=0
x i P([X = x i ]/A).
Soit N un entier strictement positif et T une variable aléatoire à valeurs dans {0, . . . , N}.
a. On suppose que X possède une espérance. Monter que E(X/[T = k]) est défini pour
tout k ∈ N et que
E(X) =
N
k=0
E(X/[T = k])P([T = k]). (∗)
b. On suppose réciproquement que E(X/[T = k]) est défini pour tout k ∈ {0, . . . , N}.
Montrer que X possède une espérance donnée par (∗).
2. On considère N variables aléatoires discrètes X 1 , . . . , X N , de même loi, possédant une
espérance. On suppose que les variables X 1 , . . . , X N et T sont indépendantes.
On note S la variable aléatoire définie par S = X 1 + · · · + X T , c’est-à-dire
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
S(v) = 0
s iT (v) = 0
S(v) =
T(v)
i=1
X i (v) si T (v) 1.
Montrer que E(S) = E(T )E(X 1 ).
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