1.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre (n, p). Les résultats
de X sont affichés sur un compteur détraqué :
• si X = 0, le compteur affiche X ;
• si X = 0, le compteur affiche au hasard un nombre entre 1 et n.
1. Déterminer la loi de Y , variable aléatoire égale au numéro affiché sur le compteur.
2. Préciser E(Y ) et vérifier E(Y ) E(X).
2.
Soit X 1 , X 2 , . . . , X n+m des variables aléatoires réelles discrètes, indépendantes, de
même loi, ayant une espérance m et une variance s
2 . On pose
U = X 1 + X 2 + · · · + X n et V = X m+1 + X m+2 + · · · + X m+n .
Quel est le coefficient de corrélation entre U et V ?
3.
Préliminaire
On pose, pour tout x ∈ ]−1, 1[, f (x) =
∞
n=0
x
n =
1
1 − x
· On admet que, pour tout entier p la
dérivée p-ième de f sur ] − 1, 1[ s’obtient en dérivant p fois terme à terme la série.
En déduire que, pour tout x ∈ ]−1, 1[, on a
+∞
k=0
k + p
p
x
k =
1
(1 − x) p+1 ·
Soit l > 0 et (X, Y ) un couple aléatoire à valeurs dans N
2 dont la loi de probabilité est donnée
par la formule
∀(m, n) ∈ N
2 , P
[X = m] ∩ [Y = n]
= c
m + n
n
l
2l + 1
m+n+1
.
1. Déterminer c.
2. Déterminer les lois de X et de Y . Démontrer que ce sont des lois géométriques à valeurs
dans N (nombre d’échecs avant le premier succès) de paramètre
1
l + 1
· En déduire l’espérance et la variance de X et Y .
3. Démontrer que
+∞
m=0
m
m + n
n
l
2l + 1
m
= (n + 1)
l
2l + 1
2l + 1
l + 1
n+2
.
En déduire que E(XY ) = 2l
2 . Déterminer Cov(X, Y ).
4. Déterminer la loi de Z = X + Y . Pour tout k ∈ N, déterminer la loi de X conditionnelle
à [Z = k].
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