© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
La variable X n suit la loi G(p) pour tout n. On a donc, pour (i 1 , . . . , i n ) ∈ N
∗n ,
n
k=1
P([Y k = i k ]) =
n
k=1
(pq
ik−1 ) = P([Y 1 = i 1 ] ∩ [Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ]).
Les variables (X n ) sont donc indépendantes.
2. On a clairement X n = Y 1 + Y 2 + · · · + Y n . Les variables Y k ont pour espérance
1
p
et
comme variance
q
p 2 · Comme les variables Y k sont indépendantes, on en déduit que Y n a
une espérance et une variance données par
E(X n ) = E(Y 1 ) + E(Y 2 ) + · · · + E(Y n ) = n
1
p
et
V (X n ) = V (Y 1 ) + V (Y 2 ) + · · · + V (Y n ) = n
q
p 2 ·
Définition 12
Si deux variables aléatoires discrètes sur le même espace probabilisé vérifient
Cov(X, Y ) = 0, on dit qu’elles sont non corrélées.
Proposition 12
Deux variables aléatoires discrètes indépendantes sont non corrélées.
Preuve
Cela résulte de la définition et de la proposition 15.
❑
➤ Remarque
La réciproque est fausse. Deux variables non corrélées ne sont pas nécessairement indépendantes.
307