Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
➤ Remarques
• La propriété est vérifiée en particulier si les variables sont mutuellement indépendantes.
• Cette formule montre l’intérêt de décomposer une variable aléatoire en somme de variables aléatoires indépendantes plus simples.
Exercice 6.
On considère une suite de lancers d’une pièce de monnaie, la probabilité d’obtenir pile sur un
lancer étant p ∈ ]0, 1[. Pour tout n ∈ N
∗ , on note X n le rang d’apparition du n-ième pile. On
pose ensuite Y 1 = X 1 et pour tout entier n 2, Y n = X n − X n−1 (temps d’attente du n-ième
pile).
1. Montrer que les variables (Y n ) n∈N ∗ forment une suite de variables indépendantes de même
loi.
2. En déduire l’espérance et la variance de X n .
Solution.
1. On note B n l’événement « le n-ième lancer donne un pile ».Pour tout n ∈
∗ , Y n est à valeurs
dans N
∗ . Soit n ∈ N
∗ , (i 1 , . . . , i n ) ∈ N
∗n . On a
P([Y 1 = i 1 ] ∩ [Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ])
= P([X 1 = i 1 ] ∩ [X 2 = i 1 + i 2 ] ∩ . . . ∩ [X n = i 1 + i 2 + · · · + i n ])
= B i1 ∩ B i1+i2 ∩ . . . B i1+···+in ∩
k∈I
B k ,
où I = [[1, i 1 + · · · + i n ]] \ {i 1 , i 1 + i 2 , . . . , i 1 + · · · + i n }. Comme les résultats des différents
lancers sont indépendants, on obtient
P([Y 1 = i 1 ] ∩ [Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ]) = p
n q
i1+···in−n ,
ce qu’on peut encore écrire
P([Y 1 = i 1 ] ∩ [Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ]) =
n
k=1
(pq
ik−1 ).
Comme ([Y 1 = i 1 ]) i1∈N ∗ est un système complet d’événements, on obtient en sommant
sur i 1
P([Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ]) =
+∞
i1=1
P([Y 1 = i 1 ] ∩ [Y 2 = i 2 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ])
=
+∞
i1=1
pq
i1−1
n
k=2
(pq
ik−1 ) =
n
k=2
(pq
ik−1 ),
car
+∞
i1=1
pq
i1−1 =
p
1 − q
= 1. En sommant sur i 2 on obtient de même
P([Y 3 = i 3 ] ∩ . . . ∩ [Y n = i n ]) =
+∞
i2=1
pq
i2−1
n
k=3
(pq
ik−1 ) =
n
k=3
(pq
ik−1 ).
En sommant successivement sur i 1 , i 2 , . . . , i n−1 , on obtient finalement
P([X n = i n ] = pq
in−1 .
306