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Covariance et coefficient de corrélation linéaire
4.3 Cas des variables indépendantes
Théorème 15
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes, admettant un moment d’ordre deux, sur le
même espace probabilisé (V, T , P). On a alors
• E(XY ) = E(X)E(Y ) ;
• Cov(X, Y ) = 0 ;
• V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
Preuve
On démontre la première égalité dans le cas où les variables X et Y sont finies. On note X(V) = {x1, . . . , xm} et
Y(V) = {y1, . . . , yn}. Comme X et Y sont des variables indépendantes, on a, pour tout (i, j) ∈ Ú1, mÛ × Ú1, nÛ,
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
= P
[X = x i ]
P
[Y = y j ]
.
On obtient
E(XY) =
m
i=1
n
j=1
x i y j P
[X = x i ]
P
[Y = y j ]
=
m
i=1
x i P
[X = x i ]
⎛
⎝
n
j=1
y j P
[Y = y j ]
⎞
⎠
= E(X)E(Y)
Les deux autres égalités découlent de la première. On a en effet
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = 0, puis
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y) = V(X) + V(Y).
❑
Corollaire 5
Pour toute famille finie (X 1 , . . . , X n ) de n variables aléatoires réelles discrètes admettant
un moment d’ordre 2, deux à deux indépendantes, on a
V (X + · · · + X n ) =
n
k=1
V (X k ).
Preuve
On sait que
V(X + · · · + Xn) =
n
k=1
V(X k ) + 2
1i Cov(X i , X j ).
Pour i = j, le variables X i et X j sont indépendantes donc Cov(X i , X j ) = 0 et
V(X1 + · · · + Xn) =
n
k=1
V(X k ).
❑
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