Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Exemple
Calculons la covariance du couple (X, Y ) étudié page 280 : X et Y représentent le rang
d’apparition du premier et du deuxième pile dans une suite infinie de lancers d’une pièce.
Nous avons vu page 300 que Cov(X, Y ) =
q
p 2 · Par ailleurs, nous avons démontré que X suit
une loi géométrique de paramètre p (temps d’attente d’un premier succès), donc V (X) =
q
p 2
et la variable Y , suit la loi de Pascal de paramètre (2, p) étudiée en exercice page 267 dont la
variance est
2q
p 2 · On obtient finalement
r(X, Y ) =
q
p 2
q
p 2 ·
2q
p 2
=
1
√
2
·
Théorème 14
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes admettant un coefficient
de corrélation linéaire, on dispose des inégalités
−1 r (X, Y ) 1.
On obtient une égalité dans les inégalités précédentes, c’est-à-dire r(X, Y ) = ±1 si et
seulement s’il existe (a, b) ∈ R
2 tel que Y = aX + b presque sûrement, c’est-à-dire tel que
P
[Y = aX + b]
= 1.
Preuve
Tout cela découle directement du théorème 13.
En effet les inégalités −1 r (X, Y) 1 sont équivalentes à |r(X, Y)| 1 et donc à |Cov(X, Y)| = s(X)s(Y).
De même l’égalité r(X, Y) = ±1 équivaut à Cov(X, Y) = ±s(X)s(Y) et donc, puisque V(X) > 0, à l’existence
de (a, b) ∈ R
2 tel que P
[Y = aX + b]
= 1, toujours d’après le théorème P
[Y = aX + b]
= 1.
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Proposition 11
Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une variance non nulle et si X
∗ et Y
∗
sont les variables centrées réduites associées, on a
r(X, Y ) = Cov(X
∗ , Y
∗ ).
Preuve
En effet, par définition, X ∗ =
X − E(X)
s(X)
et Y ∗ =
Y − E(Y)
s(Y)
.
Comme E(X ∗ ) = E(Y ∗ ) = 0, on obtient
Cov(X
∗ , Y
∗ ) = E(X
∗ Y
∗ ) =
E
(X − E(X))(Y − E(Y))
s(X)s(Y)
=
Cov(X, Y)
s(X)s(Y)
= r(X, Y).
❑
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