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Covariance et coefficient de corrélation linéaire
Théorème 13
Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes, possédant un moment d’ordre 2, on a
|Cov(X, Y )| s(X)s(Y ).
Si s(X) = 0, on obtient une égalité dans l’inégalité précédente c’est-à-dire
Cov(X, Y ) = ±s(X)s(Y ) si et seulement s’il existe (a, b) ∈ R
2 tel que Y = aX + b
presque sûrement, c’est-à-dire tel que P
[Y = aX + b]
= 1.
Preuve
• Traitons pour commencer le cas où V(X) = 0. On sait qu’alors X est presque sûrement constante. On a donc
P
[X = E(X)]
= 1. On en déduit que E(XY) = E(E(X)Y) = E(X)E(Y), donc Cov(X, Y) = 0. On a donc, quelle
que soit la variable Y, Cov(X, Y) = s(X)s(Y) = 0.
• Supposons V(X) > 0. Soit f la fonction définie sur R par l −→ V(lX + Y). D’après le théorème 12, f(l) est
défini pour tout l et
f (l) = V(lX) + 2Cov(lX, Y) + V(Y) = l
2 V(X) + 2 l Cov(X, Y) + V(Y).
Pour tout réel l, on a f(l) 0, car une variance est toujours positive. La fonction f est une fonction trinôme
qui garde un signe constant donc son discriminant est négatif. On obtient
D = 4
Cov(X, Y)
2 − V(X)V(Y)
0
et donc
Cov(X, Y)
2 V(X)V(Y). Comme V(X) > 0 et V(Y) 0, on en déduit
|Cov(X, Y)|
V(X)V(Y) s(X)s(Y).
L’égalité Cov(X, Y) = ±s(X)s(Y) équivaut à D = 0 et donc à l’existence de l0 ∈ R tel que
f(l0) = V(l0X + Y) = 0.
On sait qu’une variable aléatoire réelle discrète admet une variance nulle si, et seulement si, elle est presque
sûrement constante. Ainsi V(l0X + Y) = 0 équivaut à l0X + Y est presque sûrement constante, c’est-à-dire
à l’existence de b ∈ R tel que P
[l0X + Y = b]
= 1, c’est-à-dire tel que P(
[Y = −l0X + b]
= 1, ce qui
est le résultat voulu avec a = −l0.
❑
4.2 Coefficient de corrélation linéaire
Définition 11
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles discrètes admettant une variance non nulle,
le nombre réel
r (X, Y ) =
Cov(X, Y )
s(X)s(Y )
est appelé coefficient de corrélation linéaire de X et Y .
➤ Remarque
Les variables X et Y admettent un moment d’ordre 2 donc le couple (X, Y) admet une covariance.
303
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
Théorème 13
Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes, possédant un moment d’ordre 2, on a
|Cov(X, Y )| s(X)s(Y ).
Si s(X) = 0, on obtient une égalité dans l’inégalité précédente c’est-à-dire
Cov(X, Y ) = ±s(X)s(Y ) si et seulement s’il existe (a, b) ∈ R
2 tel que Y = aX + b
presque sûrement, c’est-à-dire tel que P
[Y = aX + b]
= 1.
Preuve
• Traitons pour commencer le cas où V(X) = 0. On sait qu’alors X est presque sûrement constante. On a donc
P
[X = E(X)]
= 1. On en déduit que E(XY) = E(E(X)Y) = E(X)E(Y), donc Cov(X, Y) = 0. On a donc, quelle
que soit la variable Y, Cov(X, Y) = s(X)s(Y) = 0.
• Supposons V(X) > 0. Soit f la fonction définie sur R par l −→ V(lX + Y). D’après le théorème 12, f(l) est
défini pour tout l et
f (l) = V(lX) + 2Cov(lX, Y) + V(Y) = l
2 V(X) + 2 l Cov(X, Y) + V(Y).
Pour tout réel l, on a f(l) 0, car une variance est toujours positive. La fonction f est une fonction trinôme
qui garde un signe constant donc son discriminant est négatif. On obtient
D = 4
Cov(X, Y)
2 − V(X)V(Y)
0
et donc
Cov(X, Y)
2 V(X)V(Y). Comme V(X) > 0 et V(Y) 0, on en déduit
|Cov(X, Y)|
V(X)V(Y) s(X)s(Y).
L’égalité Cov(X, Y) = ±s(X)s(Y) équivaut à D = 0 et donc à l’existence de l0 ∈ R tel que
f(l0) = V(l0X + Y) = 0.
On sait qu’une variable aléatoire réelle discrète admet une variance nulle si, et seulement si, elle est presque
sûrement constante. Ainsi V(l0X + Y) = 0 équivaut à l0X + Y est presque sûrement constante, c’est-à-dire
à l’existence de b ∈ R tel que P
[l0X + Y = b]
= 1, c’est-à-dire tel que P(
[Y = −l0X + b]
= 1, ce qui
est le résultat voulu avec a = −l0.
❑
4.2 Coefficient de corrélation linéaire
Définition 11
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles discrètes admettant une variance non nulle,
le nombre réel
r (X, Y ) =
Cov(X, Y )
s(X)s(Y )
est appelé coefficient de corrélation linéaire de X et Y .
➤ Remarque
Les variables X et Y admettent un moment d’ordre 2 donc le couple (X, Y) admet une covariance.
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