Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Théorème 12
• Pour tout couple discret (X, Y ) de variables aléatoires réelles admettant un moment
d’ordre deux, la variable aléatoire réelle discrète X + Y admet une variance égale à
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ).
• Plus généralement, pour toute famille finie (X 1 , . . . , X n ) de n variables aléatoires
réelles discrètes admettant un moment d’ordre 2, la variable aléatoire réelle discrète
X 1 + X 2 + · · · + X n admet une variance
V (X + · · · + X n ) =
n
k=1
V (X k ) + 2
1i Cov(X i , X j ).
Preuve
• Comme X et Y admettent un moment d’ordre 2, X + Y admet un moment d’ordre 2 donc une variance. On
obtient
V(X + Y) = Cov(X + Y, X + Y) = Cov(X, X + Y) + Cov(Y, X + Y)
par linéarité par rapport à la première variable puis, par linéarité par rapport à la deuxième variable,
V(X + Y) = Cov(X, X) + Cov(X, Y) + Cov(Y, X) + Cov(Y, Y ).
Enfin, par symétrie, V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y).
• Procédons par récurrence sur n.
Nous avons déjà démontré le résultat au rang n = 2. Supposons que la propriété est vraie au rang n et
considérons des variables X1, . . . , Xn, Xn+1 admettant une variance. Par hypothèse de récurrence, la variable
Sn =
n
i=1
X i admet une variance et
V(Sn) =
n
k=1
V(X i ) + 2
1i Cov(X i , X j ).
La variable X1 + · · · + Xn + Xn+1 = Sn + Xn+1 est la somme de deux variables aléatoires réelles discrètes
admettant un moment d’ordre 2 ; elle admet donc une variance
V(X1 + · · · + Xn+1) = V(Sn) + V(Xn+1) + 2 Cov(Sn, Xn+1).
Par linéarité de la covariance par rapport à la première variable,
V(X + · · · + Xn+1) = V(Sn) + V(Xn+1) + 2
n
k=1
Cov(X k , Xn+1).
En remplaçant V(Sn) par sa valeur, on obtient
V(X + · · · + Xn+1) =
n
k=1
V(X k ) + 2
1i Cov(X i , X j ) + V(Xn+1) + 2
n
k=1
Cov(X k , Xn+1)
=
n+1
k=1
V(X k ) + 2
1i Cov(X i , X j ).
Ceci termine la démonstration par récurrence.
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