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Covariance et coefficient de corrélation linéaire
Par ailleurs, nous avons démontré que X suit une loi géométrique de paramètre p (temps
d’attente d’un premier succès), donc E(X) =
1
p
et la variable Y , suit la loi de Pascal de
paramètre (2, p) étudiée en exercice page 267 donc l’espérance est
2
p
· On obtient finalement
Cov(X, Y ) =
3q
p 2 +
2
p
−
2
p 2 =
q
p 2 ·
Théorème 11
Si X, X
, Y et Y
sont des variables admettant des moments d’ordre 2 et l un réel, on a
• Cov(X, X) = V (X) ;
• Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) ;
• Cov(X + X
, Y) = Cov(X, Y ) + Cov(X
, Y) Cov(lX, Y ) = lCov(X, Y ) ;
• Cov(X, Y + Y
) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Y
) Cov(X, lY ) = lCov(X, Y ).
Autrement dit, les applications X −→ Cov(X, Y ) et Y −→ Cov(X, Y ) sont linéaires.
Preuve
• On a Cov(X, X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 = V(X), d’après la formule de Kœnig-Huyghens.
• Par définition, nous avons
Cov(X, Y) = E
X − E(X)
Y − E(Y)
= E
Y − E(Y)
X − E(X)
= Cov(Y, X).
• D’après le corollaire 4, X + X possède un moment d’ordre 2. Ainsi le couple (X + X , Y) possède une
covariance. Par linéarité de l’espérance, on obtient
Cov(X + X
, Y) = E
(X + X
)Y
− E(X + X
)E(Y)
= E(XY) + E(X
Y) −
E(X) + E(X
)
E(Y)
= E(XY) − E(X)E(Y) + E(X
Y) − E(X
)E(Y)
= Cov(X, Y) + Cov(X
, Y),
et de même,
Cov(lX, Y) = E(lXY) − E(lX)E(Y) = lE(XY) − lE(X)E(Y) = lCov(X, Y).
• On peut écrire, en utilisant les deux premiers points
Cov(X, Y + Y
)) = Cov(Y + Y
, X) = Cov(Y, X) + Cov(Y
, X)
= Cov(X, Y) + Cov(X, Y
)
et
Cov(X, lY) = Cov(lY, X) = lCov(Y, X) = lCov(X, Y).
• Cov(X, X) = E
X − E(X)
2 = V(X) 0.
❑
➤ Remarque
L’utilisation de la linéarité peut éviter des calculs de covariance souvent pénibles.
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