Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Théorème 10 (Théorème de Koenig-Huygens)
Soit X et Y des variables aléatoires réelles discrètes X et Y sur le même espace probabilisé
(V, T , P). Si les variables X, Y et XY admettent une espérance, alors le couple (X, Y )
admet une covariance donnée par la formule
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Preuve
Par linéarité de l’espérance,
X − E(X)
Y − E(Y)
= XY − XE(Y) − YE(X) + E(X)E(Y)
admet une espérance. Donc X et Y possèdent une covariance et
Cov(X, Y) = E
X − E(X)
Y − E(Y)
= E(XY) − E(Y)E(X) − E(X)E(Y) + E(X)E(Y)
= E(XY) − E(Y)E(X).
❑
➤ Remarque
Le théorème 10 s’applique en particulier si les variables aléatoires X et Y ont un moment d’ordre 2, car alors X et
Y possèdent un espérance et il en est de même de XY d’après le théorème 10.
Exemple
Calculons la covariance du couple (X, Y ) étudié page 280 :X et Y représentent le rang d’apparition du premier et du deuxième pile dans une suite infinie de lancers d’une pièce. On a,
pour n ∈ N
∗ et k 2,
P
[X = n] ∩ [Y = k]
=
p
2 q
k−2
si n < k
0
s i n k.
La série double
nkP
[X = n] ∩ [Y = k]
est à termes positifs. Pour tout k 2, on a
P
[X = n] ∩ [Y = k] = 0 si n k, donc
+∞
n=0
nkP
[X = n] ∩ [Y = k]
=
k−1
n=0
nkp
2 q
k−2 = kp
2 q
k−2
k−1
n=0
n =
1
2
p
2 k
2 (k − 1)q
k−2 .
On a
1
2
p
2 k
2 (k − 1)q
k−2
∼
k→+∞
1
2
p
2 qk(k − 1)(k − 2)q
k−3 . À une constante près, on trouve la
dérivée troisième d’une d’une série géométrique, qui converge car q ∈ ]0, 1[. Ainsi, d’après le
théorème 9, XY possède une espérance et
E(XY ) =
1
2
p
2
+∞
k=2
k
2 (k − 1)q
k−2 .
On écrit k
2 (k − 1) = k(k − 1)(k − 2) + 2k(k − 1) et donc
E(XY ) =
1
2
p
2 q
+∞
k=2
k(k − 1)(k − 2)q
k−3 + p
2
+∞
k=2
k(k − 1)q
k−2
=
1
2
p
2 q ·
6
(1 − q) 4 + p
2
2
(1 − q) 3 =
3q
p 2 +
2
p
·
300