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Covariance et coefficient de corrélation linéaire
4. Covariance et coefficient de corrélation linéaire
4.1 Covariance
Nous admettrons le théorème suivant, évident si X et Y sont finies, car alors XY est
une variable finie qui possède donc une espérance.
Proposition 10
Si les variables aléatoires réelles discrètes X et Y sur le même espace probabilisé (V, T , P)
admettent un moment d’ordre deux, alors le produit XY admet une espérance.
➤ Remarque
L’expression de E(XY) est alors donnée par les théorèmes 8 et 9.
Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles finies, telles que X(V) = {x1, . . . , xm} et Y(V) = {y1, . . . , yn}, où
m et n sont deux entiers naturels non nuls, on a
E(XY) =
m
i=1
n
j=1
x i y j P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes infinies, telles que X(V) = {xn, n ∈ N} et Y(V) = {yn, n ∈ N},
on a
E(XY) =
+∞
i=0
+∞
j=0
x i y j P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
Corollaire 4
Si les variables aléatoires réelles discrètes X et Y sur le même espace probabilisé (V, T , P)
admettent un moment d’ordre deux, alors la variable X + Y admet également un moment
d’ordre 2.
Preuve
D’après la proposition 10, la variable aléatoire XY possède une espérance. Par linéarité de l’espérance, la variable
(X + Y)
2 = X
2 + Y
2 + 2XY
possède une espérance, donc X + Y possède un moment d’ordre 2.
❑
Définition 10
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance. Si la variable
X − E(X)
Y − E(Y )
admet une espérance, on appelle covariance de X et Y (ou du
couple (X, Y )) le réel noté Cov(X, Y ) défini par
Cov(X, Y ) = E
X − E(X)
Y − E(Y )
.
➤ Remarque
La covariance de X et Y est donc l’espérance du produit des variables centrées associées à X et Y.
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