Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Nous admettrons le théorème suivant qui généralise au cas de variables infinies le
théorème 8.
Théorème 9 (admis)
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé
(V, T , P) telles que X(V) = {x n , n ∈ N} et Y (V) = {y n , n ∈ N} et pour toute fonction
g définie sur X(V) × Y (V), la variable aléatoire réelle discrète Z = g(X, Y ) admet une
espérance si, et seulement si, la série double
i,j
g(x i , y i )P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]) converge
absolument. En cas de convergence absolue
E(Z) =
+∞
i=0
+∞
j=0
g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
➤ Remarque
Si on a pour tout (i, j), g(x i , y j ) 0, la convergence équivaut à la convergence absolue. Il suffit alors, pour i fixé de
montrer la convergence de la série de terme général g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
(la variable est j), puis de vérifier
la convergence de la série de terme général
+∞
j=0
g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
. En cas de convergence, E(g(X, Y))
est égal à la somme de cette série.
Exemple
Considérons deux variables aléatoires X et Y à valeurs dans N dont la loi, conjointe est définie
par
∀(i, j) ∈ N
2 , P([X = i] ∩ [Y = j]) =
(i + j)
e.2 i+j i!j!
·
Calculons l’espérance de 2
X+Y , c’est-à-dire de g(X, Y ), où g est l’application (x, y) −→ 2
x+y .
Pour tout (i, j) ∈ N
2 , on a
g(i, j)P([X = i, Y = j]) = 2
i+j (i + j)
e.2 i+j i!j!
=
(i + j)
ei!j!
.
Pour i fixé, on reconnaît la série de l’exponentielle. On obtient
+∞
j=0
(i + j)
ei!j!
=
1
ei!
+∞
j=0
i
j!
+
j
j!
=
1
ei!
⎛
⎝ i
+∞
j=0
1
j!
+
+∞
j=1
1
(j − 1)!
⎞
⎠
=
1
ei!
(ie + e) =
i
i!
+
1
i!
.
On a de nouveau le terme général d’une série convergente. On en déduit que 2
X+Y possède
une espérance et
E
2
X+Y
=
+∞
i=1
1
(i − 1)!
+
+∞
i=1
1
i!
= 2e.
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