© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Preuve
La variable Z est finie ; on note Z(V) = {z1, . . . , zs}, où s est un entier naturel non nul. Nous avons vu (théorème 5 p. 292) que la loi de Z est définie par
P
[Z = z k ]
=
(xj ,yj )∈X(V)×Y(V)
g(xi ,yj )=zk
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
Comme Z est une variable aléatoire réelle discrète finie, elle admet une espérance, et
E(Z) =
s
k=1
z k P
[Z = z k ]
=
s
k=1
z k
(xi ,yj )∈X(V)×Y(V)
g(xi ,yj )=zk
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
=
s
k=1
(xi ,yj )∈X(V)×Y(V)
g(xi ,yj )=zk
z k P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
=
(xi ,yj )∈X(V)×Y(V)
g(x i , y j )P(X = x i , Y = y j )
=
m
i=1
n
j=1
g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
❑
Cas de variables discrètes infinies
Définition 9
Soit u une application de N
2 dans R. On note u i,j l’image du couple (i, j). Si la série de
terme général u i,j , où i est fixé, est absolument convergente, et si la série de terme général
+∞
j=0
u i,j est absolument convergente, alors la série notée
i,j
u i,j est appelée série double
absolument convergente et sa somme est le réel
+∞
i=0
+∞
j=0
u i,j .
Nous admettrons la proposition suivante. Quand une série est absolument convergente, la somme ne dépend pas de l’ordre des sommations.
Proposition 9
Si la série
i,j
u i,j est absolument convergente, on a
+∞
i=0
+∞
j=0
u i,j =
+∞
k=0
+∞
j=0
u i,j .
297