Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Théorème 7
• Si X et Y sont des variables indépendantes de (V, T , P) suivant des lois de Poisson de
paramètres respectifs l et m, la somme X + Y suit une loi de Poisson de paramètre
l + m.
• Plus généralement, si X 1 , X 2 , . . . , X n sont des variables mutuellement indépendantes
telles que X k suive la loi de Poisson de paramètre l k pour tout entier k de Ú1, nÛ, la
variable aléatoire X 1 + · · · + X n suit la loi de Poisson de paramètre
n
k=1
l k .
Preuve
• Posons S = X + Y. On a S(V) = N et, pour tout entier k de N,
P
[S = k]
=
i+j=k
P
[X = i]
P
[Y = j]
=
k
i=0
P
[X = i]
P
[Y = k − i]
=
k
i=0
e −l l
i
i!
e −m m
k−i
(k − i)!
= e
−(l+m) 1
k!
k
i=0
k
i
l
i m
k−i
=
e −l+m
k!
(l + m)
k ,
d’après la formule du binôme. On en déduit que S suit la loi de Poisson de paramètre l + m.
• On procède par récurrence sur n, la propriété étant évidente pour n = 1 et résultant du premier point
pour n = 2.
Supposons que la propriété est vraie au rang n et considérons n variables indépendantes X1, . . . , Xn+1 suivant
des lois de Poisson. Par hypothèse de récurrence, la variable X1 + · · · + Xn suit la loi de Poisson de paramètre
n
i=1
l i . Les variables X1, . . . , Xn, Xn+1 étant mutuellement indépendantes, les variables X1 + · · · + Xn et
Xn+1 sont indépendantes. Elles suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs
n
i=1
l i et ln+1. D’après le
cas de deux variables, leur somme X1+· · ·+Xn+Xn+1 suit la loi de Poisson de paramètre
n
i=1
l i +ln+1 =
n+1
i=1
l i .
Cela termine la démonstration par récurrence.
❑
3.3 Espérance d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Cas de deux variables finies
Théorème 8
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles finies et g une fonction définie sur
X(V) × Y (V). On note X(V) = {x 1 , . . . , x m } et Y (V) = {y 1 , . . . , y n }, où m et n sont
deux entiers naturels non nuls. La variable aléatoire réelle discrète finie Z = g(X, Y )
admet alors une espérance et
E(Z) =
m
i=1
n
j=1
g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
296
Théorème 7
• Si X et Y sont des variables indépendantes de (V, T , P) suivant des lois de Poisson de
paramètres respectifs l et m, la somme X + Y suit une loi de Poisson de paramètre
l + m.
• Plus généralement, si X 1 , X 2 , . . . , X n sont des variables mutuellement indépendantes
telles que X k suive la loi de Poisson de paramètre l k pour tout entier k de Ú1, nÛ, la
variable aléatoire X 1 + · · · + X n suit la loi de Poisson de paramètre
n
k=1
l k .
Preuve
• Posons S = X + Y. On a S(V) = N et, pour tout entier k de N,
P
[S = k]
=
i+j=k
P
[X = i]
P
[Y = j]
=
k
i=0
P
[X = i]
P
[Y = k − i]
=
k
i=0
e −l l
i
i!
e −m m
k−i
(k − i)!
= e
−(l+m) 1
k!
k
i=0
k
i
l
i m
k−i
=
e −l+m
k!
(l + m)
k ,
d’après la formule du binôme. On en déduit que S suit la loi de Poisson de paramètre l + m.
• On procède par récurrence sur n, la propriété étant évidente pour n = 1 et résultant du premier point
pour n = 2.
Supposons que la propriété est vraie au rang n et considérons n variables indépendantes X1, . . . , Xn+1 suivant
des lois de Poisson. Par hypothèse de récurrence, la variable X1 + · · · + Xn suit la loi de Poisson de paramètre
n
i=1
l i . Les variables X1, . . . , Xn, Xn+1 étant mutuellement indépendantes, les variables X1 + · · · + Xn et
Xn+1 sont indépendantes. Elles suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs
n
i=1
l i et ln+1. D’après le
cas de deux variables, leur somme X1+· · ·+Xn+Xn+1 suit la loi de Poisson de paramètre
n
i=1
l i +ln+1 =
n+1
i=1
l i .
Cela termine la démonstration par récurrence.
❑
3.3 Espérance d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Cas de deux variables finies
Théorème 8
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles finies et g une fonction définie sur
X(V) × Y (V). On note X(V) = {x 1 , . . . , x m } et Y (V) = {y 1 , . . . , y n }, où m et n sont
deux entiers naturels non nuls. La variable aléatoire réelle discrète finie Z = g(X, Y )
admet alors une espérance et
E(Z) =
m
i=1
n
j=1
g(x i , y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
296