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Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Exercice 5.
Soit X et Y deux variables indépendante sur le même espace probabilisé suivant des lois géométriques (temps d’attente du premier succès) de paramètre p et p
respectivement. Montrer
que Z = min(X, Y ) suit une loi géométrique.
Solution. On pose q = 1 − p et q
= 1 − p
. La variable aléatoire Z est également à valeurs
dans N
∗ . Pour k ∈ N
∗ , on a
P
[Z k]
= P
[X k]
P
[Y k]
.
Déterminons P
[X k]
. Une variable géométrique représente le rang du premier succès dans
une suite d’épreuves indépendantes. Ainsi [X k] est réalisé si les k−1 premières épreuves ont
été des échecs. La probabilité d’obtenir un échec étant q, on en déduit P
[X k]
= q
k−1 .
On obtient de même P
[Y k]
= q
k−1 et donc
P
[Z k]
= q
k−1 q
k−1 = (qq
)
k−1 .
On en déduit que, pour tout k ∈ N
∗ ,
P
[Z = k]
= P
[Z k]
− P
[Z k + 1]
= (qq
)
k−1
− (qq
)
k = (1 − qq
)(qq
)
k−1 .
La variable Z suit la loi géométrique de paramètre 1 − qq
.
3.2 Somme de variables indépendantes suivant une loi binomiale ou une loi
de Poisson
Les propriétés énoncées dans les deux théorèmes suivants sont appelées stabilité des lois
binomiales et de Poisson pour la somme. La première a déjà été exposée dans le livre
de première année. Nous ne la redémontrons pas.
Théorème 6
• Si X et Y sont des variables indépendantes de (V, T , P), suivant des lois binomiales
de paramètres respectifs (m, p) et (n, p), la somme X + Y suit une loi binomiale de
paramètre (m + n, p).
• Plus généralement, si X 1 , X 2 , . . . , X k sont des variables mutuellement indépendantes
telles que, pour tout i de [[1, k]], X i suive une loi binomiale de paramètre (n i , p), la
variable X 1 + · · · + X k suit une loi binomiale de paramètre
k
i=i
n i , p
.
Corollaire 3
Si X 1 , . . . , X k sont des variables aléatoires indépendantes de (V, T , P) qui suivent une loi
de Bernoulli de paramètre p, alors X 1 + · · · + X k suit la loi binomiale de paramètre (p, k).
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