Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Solution. Comme X(V) = Y (V) = N
∗ , on a S(V) = [[2, +∞[[ et D(V) = Z.
Pour tout entier k 2,
P([S = k]) =
(i,j)∈N ∗
i+j=k
P([X = i])P([Y = j]) =
k−1
i=1
P([X = i])P([Y = k − i])
=
k−1
i=1
pq
i−1 pq
k−i−1 =
k−1
i=1
p
2 q
k−2 = (k − 1)p
2 q
k−2 .
Pour tout k ∈ Z,
P([D = k]) =
(i,j)∈(N ∗ ) 2
i−j=k
P([X = i])P([Y = j]).
Si k 0, on a i j. On peut prendre j quelconque dans N
∗ et i = j + k. On obtient
P([D = k]) =
+∞
j=1
P([X = j + k])P([Y = j]) =
+∞
j=1
pq
j+k−1 pq
j−1
= p
2 q
k
+∞
j=1
(q
2 )
j−1 =
p
2 q
k
1 − q 2 =
pq
k
1 + q
,
car 1 − q = p.
Si k < 0, on a j > i. On peut prendre i quelconque dans N
∗ et j = i − k. On obtient
P([D = k]) =
+∞
i=1
P([X = i])P([Y = i − k]) =
+∞
i=1
pq
i−1 pq
i−k−1 = p
2 q
−k
+∞
i=1
(q
2 )
i−1
=
p
2 q
−k
1 − q 2 =
pq
−k
1 + q
·
Finalement on obtient
∀k ∈ Z, P
[D = k]
=
pq
|k|
1 + q
·
Cas de min(X, Y ) et max(X, Y )
Pour étudier le maximum et le minimum de deux variables aléatoires discrètes, on ne
cherche pas directement la loi.
Proposition 8
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes sur le même espace probabilisé, à valeurs
dans Z. On a pour tout k ∈ Z,
[min(X, Y ) k] = [X k] ∩ [Y k] et [max(X, Y ) k] = [X k] ∩ [Y k].
On en déduit que si X et Y sont indépendantes,
P ([min(X, Y ) k]) = P ([X k]) ([Y k])
et P ([max(X, Y ) k]) = P ([X k]) P ([Y k]) .
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