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Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
de probabilité de la variable aléatoire réelle discrète Z = g(X, Y ) est définie, pour tout
z ∈ Z(V) par
P
[Z = z]
=
(x,y)∈X(V)×Y (V)
g(x,y)=z
P
[X = x] ∩ [Y = y]
.
En particulier, si les variables X et Y sont indépendantes, on obtient, pour tout z ∈ Z(V),
P
[Z = z]
=
(x,y)∈X(V)×Y (V)
g(x,y)=z
P
[X = x]
P
[Y = y]
.
Preuve
D’après le théorème précédent, on a, pour tout z ∈ Z(V),
[Z = z] =
(x,y)∈X(V)×Y(V)
g(x,y)=z
[X = x] ∩ [Y = y]
.
Puisque c’est une réunion d’événements incompatibles,
P
[Z = z]
=
(x,y)∈X(V)×Y(V)
g(x,y)=z
P
[X = x] ∩ [Y = y]
.
Dans le cas où les variables sont indépendantes, l’égalité résulte de
P
[X = x] ∩ [Y = y]
= P
[X = x]
P
[Y = y]
.
❑
Corollaire 2
Si X et Y sont deux variables discrètes sur (V, T , P), indépendantes, on a, pour tout
z ∈ (X + Y )(V),
P([X + Y = z]) =
(x,y)∈X(V)×Y (V)
x+y=z
P([X = x])P([Y = y]).
Preuve
Le résultat s’obtient en appliquant le théorème 5 à g : (x, y) −→ x + y.
❑
➤ Remarque
Si de plus X(V) et Y(V) sont inclus dans N alors (X + Y)(V) est inclus dans N et pour tout k ∈ (X + Y)(V),
P([X + Y = k]) =
(i,j)∈N 2
i+j=k
P([X = i])P([Y = j]) =
k
i=0
P([X = i])P([Y = k − i]).
Exercice 4.
Soit X et Y deux variables indépendantes, suivant la même loi géométrique (temps d’attente
du premier succès) de paramètre p. Déterminer les lois de S = X + Y et D = X − Y .
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