Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Définition 8
Toute suite (X n ) n∈N de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé (V, T , P)
telle que pour toute partie finie I de N, les variables aléatoires réelles discrètes X i où i décrit
I sont mutuellement indépendantes est appelée suite de variables aléatoires mutuellement
indépendantes (ou simplement indépendantes)
➤ Remarques
• Il suffit de vérifier que, pour tout entier n, les variables X0, . . . , Xn les variables sont mutuellement indépendantes. En effet, toute sous-famille finie de (Xn) n∈N est contenue dans une sous-famille de la forme
(X0, . . . , Xn). D’après la proposition 17, elle est constituée de variables aléatoires mutuellement indépendantes
si les variables X0, . . . , Xn les variables sont mutuellement indépendantes.
• Une suite de variables mutuellement indépendantes est un modèle pour décrire une succession d’épreuves
dont les résultats sont indépendants, en particulier la répétition d’une même épreuve. On obtient alors une
suite de variables indépendantes de même loi (on dit aussi équidistribuée).
Une suite de lancers de pile ou face aux résultats indépendants sera décrite par une suite (Xn) de variables de
Bernoulli indépendantes, où Xn représente le résultat de la n-ième épreuve.
3. Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
3.1 Loi d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Théorème 4
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes sur le même espace probabilisé (V, T , P) et toute fonction g définie sur X(V) × Y (V) à valeurs dans R, l’application
Z :
V −→ R
v −→ g
X(v), Y(v)
est une variable aléatoire réelle discrète.
Preuve
Les ensembles X(V) et Y(v) sont au plus dénombrables donc le produit X(V)×Y(V) l’est également. L’ensemble
Z(V) = g
X(V) × Y(V)
est au plus dénombrable car c’est une réunion au plus dénombrable d’ensembles finis :
les singletons {g(x, y)}, où (x, y) ∈ X(V) × Y(V).
Pour tout z ∈ Z(V),
[Z = z] =
(x,y)∈X(V)×Y(V)
g(x,y)=z
[X = x] ∩ [Y = y]
.
Chaque ensemble [X = x] ∩ [Y = y] est un événement et [Z = z] qui est une réunion au plus dénombrable
d’événements est un événement. Ainsi Z est une variable aléatoire réelle discrète.
❑
Théorème 5
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes sur le même espace probabilisé (V, T , P) et toute fonction g définie sur X(V) × Y (V) à valeurs dans R, la loi
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Définition 8
Toute suite (X n ) n∈N de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé (V, T , P)
telle que pour toute partie finie I de N, les variables aléatoires réelles discrètes X i où i décrit
I sont mutuellement indépendantes est appelée suite de variables aléatoires mutuellement
indépendantes (ou simplement indépendantes)
➤ Remarques
• Il suffit de vérifier que, pour tout entier n, les variables X0, . . . , Xn les variables sont mutuellement indépendantes. En effet, toute sous-famille finie de (Xn) n∈N est contenue dans une sous-famille de la forme
(X0, . . . , Xn). D’après la proposition 17, elle est constituée de variables aléatoires mutuellement indépendantes
si les variables X0, . . . , Xn les variables sont mutuellement indépendantes.
• Une suite de variables mutuellement indépendantes est un modèle pour décrire une succession d’épreuves
dont les résultats sont indépendants, en particulier la répétition d’une même épreuve. On obtient alors une
suite de variables indépendantes de même loi (on dit aussi équidistribuée).
Une suite de lancers de pile ou face aux résultats indépendants sera décrite par une suite (Xn) de variables de
Bernoulli indépendantes, où Xn représente le résultat de la n-ième épreuve.
3. Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
3.1 Loi d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Théorème 4
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes sur le même espace probabilisé (V, T , P) et toute fonction g définie sur X(V) × Y (V) à valeurs dans R, l’application
Z :
V −→ R
v −→ g
X(v), Y(v)
est une variable aléatoire réelle discrète.
Preuve
Les ensembles X(V) et Y(v) sont au plus dénombrables donc le produit X(V)×Y(V) l’est également. L’ensemble
Z(V) = g
X(V) × Y(V)
est au plus dénombrable car c’est une réunion au plus dénombrable d’ensembles finis :
les singletons {g(x, y)}, où (x, y) ∈ X(V) × Y(V).
Pour tout z ∈ Z(V),
[Z = z] =
(x,y)∈X(V)×Y(V)
g(x,y)=z
[X = x] ∩ [Y = y]
.
Chaque ensemble [X = x] ∩ [Y = y] est un événement et [Z = z] qui est une réunion au plus dénombrable
d’événements est un événement. Ainsi Z est une variable aléatoire réelle discrète.
❑
Théorème 5
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes sur le même espace probabilisé (V, T , P) et toute fonction g définie sur X(V) × Y (V) à valeurs dans R, la loi
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