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Indépendance de variables aléatoires discrètes
Corollaire 1
Si les variables aléatoires réelles discrètes X 1 , . . . , X n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
mutuellement indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux.
➤ Remarque
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de deux variables indépendantes X et Y suivant la loi de
Bernoulli de paramètre
1
2
et de la variable Z = |X − Y|.
La variable Z est encore de Bernoulli et
[Z = 1] = [X = 1] ∩ [Y = 0] ∪ [X = 0] ∩ [Y = 1]
donc
P
[Z = 1]
= P
[X = 1] ∩ [Y = 0]
+ P
[X = 0] ∩ [Y = 1]
=
1
4
+
1
4
=
1
2
,
par indépendance de X et Y. On a d’autre part
P
[X = 1] ∩ [Z = 1]
= P
[X = 1] ∩ [Y = 0]
=
1
4
= P
[X = 1]
P
[Z = 1]
,
donc les variables de Bernoulli X et Z sont indépendantes. Il en est de même de Y et Z. Comme
P([X = 1] ∩ [Y = 1] ∩ [Z = 1]) = 0 =
1
8
, les variables X, Y, Z ne sont pas mutuellement indépendantes, bien
qu’elles soient deux à deux indépendantes.
Les résultats démontrés pour deux variables indépendantes se généralisent au cas de n
variables indépendantes. Nous admettrons les deux théorèmes qui suivent.
Théorème 2
Pour tout n-uplet (X 1 , X 2 , . . . , X n ) de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P) et tout n-uplet de fonction (g 1 , g 2 , . . . , g n ) tel que
g k est définie sur X k (V), (g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ), . . . g n (X n )) est un n-uplet de variables aléatoires
discrètes mutuellement indépendantes.
Théorème 3 (Lemme des coalitions)
Soit (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un n-uplet de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P).
Alors quel que soit l’entier p de Ú2, n − 1Û, les fonctions w de R
p dans R et c de R
n−p
dans R, les variables aléatoires w(X 1 , . . . , X p ) et c(X p+1 , . . . , X n ) sont indépendantes.
Plus généralement si n 1 , . . . , n k sont des entiers naturels non nuls tels que n 1 + · · ·+ n k = n
et si, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, w i est une fonction de R
ni dans R, les variables aléatoires
w 1 (X 1 , . . . , X n1 ), w 2 (X n1+1 , . . . , X n1+n2 ), . . . , w k (X n1+···+nk−1+1 , . . . , X n ) sont mutuellement
indépendantes.
Exemple
Si X, Y , Z et T sont des variables mutuellement indépendantes, les variables XY et ZT sont
indépendantes, les variables X, Y + Z et T ont mutuellement indépendantes.
291
Indépendance de variables aléatoires discrètes
Corollaire 1
Si les variables aléatoires réelles discrètes X 1 , . . . , X n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
mutuellement indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux.
➤ Remarque
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de deux variables indépendantes X et Y suivant la loi de
Bernoulli de paramètre
1
2
et de la variable Z = |X − Y|.
La variable Z est encore de Bernoulli et
[Z = 1] = [X = 1] ∩ [Y = 0] ∪ [X = 0] ∩ [Y = 1]
donc
P
[Z = 1]
= P
[X = 1] ∩ [Y = 0]
+ P
[X = 0] ∩ [Y = 1]
=
1
4
+
1
4
=
1
2
,
par indépendance de X et Y. On a d’autre part
P
[X = 1] ∩ [Z = 1]
= P
[X = 1] ∩ [Y = 0]
=
1
4
= P
[X = 1]
P
[Z = 1]
,
donc les variables de Bernoulli X et Z sont indépendantes. Il en est de même de Y et Z. Comme
P([X = 1] ∩ [Y = 1] ∩ [Z = 1]) = 0 =
1
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, les variables X, Y, Z ne sont pas mutuellement indépendantes, bien
qu’elles soient deux à deux indépendantes.
Les résultats démontrés pour deux variables indépendantes se généralisent au cas de n
variables indépendantes. Nous admettrons les deux théorèmes qui suivent.
Théorème 2
Pour tout n-uplet (X 1 , X 2 , . . . , X n ) de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P) et tout n-uplet de fonction (g 1 , g 2 , . . . , g n ) tel que
g k est définie sur X k (V), (g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ), . . . g n (X n )) est un n-uplet de variables aléatoires
discrètes mutuellement indépendantes.
Théorème 3 (Lemme des coalitions)
Soit (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un n-uplet de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P).
Alors quel que soit l’entier p de Ú2, n − 1Û, les fonctions w de R
p dans R et c de R
n−p
dans R, les variables aléatoires w(X 1 , . . . , X p ) et c(X p+1 , . . . , X n ) sont indépendantes.
Plus généralement si n 1 , . . . , n k sont des entiers naturels non nuls tels que n 1 + · · ·+ n k = n
et si, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, w i est une fonction de R
ni dans R, les variables aléatoires
w 1 (X 1 , . . . , X n1 ), w 2 (X n1+1 , . . . , X n1+n2 ), . . . , w k (X n1+···+nk−1+1 , . . . , X n ) sont mutuellement
indépendantes.
Exemple
Si X, Y , Z et T sont des variables mutuellement indépendantes, les variables XY et ZT sont
indépendantes, les variables X, Y + Z et T ont mutuellement indépendantes.
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