Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
c’est-à-dire
P([f(X) = x] ∩ [g(Y) = y]) = P([f(X) = x]) P([g(Y) = y]).
Ainsi f (X) et g(Y) sont indépendantes.
❑
Exemple
Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes, pour tous entiers naturels non
nuls m et n, les variables X
m et Y
n sont indépendantes.
2.2 Indépendance de n variables aléatoires discrètes
Définition 6
Les variables aléatoires réelles discrètes X 1 , . . . , X n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
dites indépendantes deux à deux si, pour tous entiers i et j distincts de [[1, n]], les
variables aléatoires X i et X j sont indépendantes.
Définition 7
Les variables aléatoires réelles discrètes X 1 , . . . , X n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
dites mutuellement indépendantes (ou simplement indépendantes) si pour tout
(x 1 , . . . , x n ) ∈ X(V) × . . . × X n (V),
P
[X = x 1 ] ∩ · · · ∩ [X n = x n ]
= P
[X 1 = x 1 ]
· · · P
[X n = x n ]
.
Proposition 7
Si (X 1 , . . . , X n ) est une famille de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de l’espace probabilisé (V, T , P), alors toute sous-famille est formée de variables
mutuellement indépendantes.
Preuve
Comme la propriété d’indépendance ne dépend pas de l’ordre des variables aléatoires, il suffit de démontrer
que, pour k ∈ [ [1, n] ], les variables X1,. . . ,X k sont mutuellement indépendantes. Il suffit même de le démontrer
pour X1, . . . , X n−1 et de raisonner par récurrence descendante.
Fixons (x1, . . . , x n−1 ) ∈ X1(V) × · · · × X n−1 (V). La famille
[Xn = xn]
xn∈Xn(V)
est un système complet événements. On obtient donc, en utilisant l’indépendance mutuelle de X1,. . . , Xn,
P([X = x1] ∩ · · · ∩ [X n−1 = x n−1 ]) =
xn∈Xn(V)
P
[X = x1] ∩ · · · ∩ [X n−1 = x n−1 ] ∩ [Xn = xn]
=
xn∈Xn(V)
P
[X1 = x1]
· · · P
[X n−1 = x n−1 ]
P
[Xn = xn]
= P
[X1 = x1]
· · · P
[X n−1 = x n−1 ]
xn∈Xn(V)
P
[Xn = xn]
= P
[X1 = x1]
· · · P
[X n−1 = x n−1 ]
,
ce qui montre l’indépendance mutuelle de X1, . . . , X n−1 .
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