© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Indépendance de variables aléatoires discrètes
2. Comme
[Y = i]
i∈N ∗ est un système complet d’événements, on a
P
[X kY ]
=
+∞
i=1
P
[X kY ] ∩ [Y = i]
=
+∞
i=1
P
[X ki] ∩ [Y = i]
.
Les variables X et Y étant indépendante, on a d’après la proposition 5,
P
[X ki] ∩ [Y = i]
= P
[X ki]
P
[Y = i]
= P
[X > ki − 1]
P
[Y = i]
=
1
2
ki−1
1
2
i
=
1
2
(k+1)i−1
= 2
1
2
(k+1)i
.
On en déduit que
P
[X kY ]
= 2
+∞
i=1
1
2
(k+1)i
= 2
+∞
i=1
1
2
k+1
i
.
On reconnaît une série géométrique de raison x =
1
2
k+1
∈ ]0, 1[. On obtient
P
[X kY ]
= 2
+∞
i=1
x
i = 2x
+∞
i=1
x
i−1 = 2x
+∞
j=0
x
j =
2x
1 − x
=
2
1
2
k+1
1 −
1
2
k+1 =
2
2 k+1 − 1
·
Proposition 6
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé
(V, T , P), toute fonction f de X(V) à valeurs dans R et toute fonction g de Y (V) à valeurs
dans R, si les variables aléatoires réelles X et Y sont indépendantes, alors f (X) et g(Y ) sont
des variables aléatoires réelles discrètes indépendantes.
Preuve
Pour tout (x, y) de f (X)(V) × g(Y)(V),
P([f(X) = x] ∩ [g(Y) = y]) = P([X ∈ f
−1 ({x})] ∩ [Y ∈ g
−1 ({y}]).
On obtient, d’après la proposition 5, comme X et Y sont indépendantes,
P([f(X) = x] ∩ [g(Y) = y]) = P([X ∈ f
−1 ({x}]) P([Y ∈ g
−1 ({y}]),
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