Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Par incompatibilité des événements, on en déduit
P
[X ∈ E] ∩ [Y ∈ F]
=
m
i=1
n
j=1
P
[X = a i ] ∩ [Y = b j ]
=
m
i=1
n
j=1
P
[X = a i ]
P
[Y = b j ]
,
puisque les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. On reconnaît dans cette somme double
m
i=1
P
[X = a i ]
⎛
⎝
n
j=1
P
[Y = b j ]
⎞
⎠ . Mais
P([X ∈ E]) =
m
i=1
P
[X = a i ]
et P([Y ∈ F]) =
n
j=1
P
[Y = b j ]
.
On a donc
P
[X ∈ E] ∩ [Y ∈ F]
= P([X ∈ E])P([Y ∈ F]).
❑
Exercice 3.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes sur le même espace probabilisé
(V, T , P), suivant toutes deux une loi géométrique (temps d’attente du premier succès) de
paramètre
1
2
· Déterminer la probabilité des événements suivants :
1. [X = Y ] ;
2. [X kY ], où k est un entier naturel non nul fixé.
Solution. Par définition de la loi géométrique, on a, pour tout k ∈ N
∗ ,
P
[X = k]
= P
[Y = k]
=
1
2
k
,
car p = q =
1
2
· On rappelle, d’autre part, que P
[X > k]
=
1
2
k
.
1. L’événement [X = Y ] est la réunion des événements [X = i] ∩ [Y = i], i variant dans N
∗ .
Comme X et Y sont indépendantes, on a
P
[X = i] ∩ [Y = i]
= P
[X = i]
P
[Y = i]
=
1
2
2i
.
On en déduit puisque les événements [X = i] ∩ [Y = i], i variant dans N
∗ , sont incompatibles,
P
[X = Y ]
=
+∞
i=1
1
2
2i
=
+∞
i=1
1
4
i
=
1
4
+∞
i=1
1
4
i−1
=
1
4
+∞
j=0
1
4
j
=
1
4
1 −
1
4
=
1
3
·
288