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Indépendance de variables aléatoires discrètes
2. Indépendance de variables aléatoires discrètes
2.1 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes
Définition 5
Deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
dites indépendantes si
∀(x, y) ∈ X(V) × Y (V), P
[X = x] ∩ [Y = y]
= P
[X = x]
P
[Y = y]
.
➤ Remarque
Cela équivaut à l’indépendance des événements [X = x] et [Y = y] pour tout couple (x, y) ∈ X(V) × Y(V).
Proposition 4
Deux variables aléatoires X et Y , définies sur le même espace probabilisé, suivant des lois
de Bernoulli, sont indépendantes si, et seulement si, les événements [X = 1] et [Y = 1]
sont indépendants.
Preuve
On a par définition X(V) = Y(V) = {0, 1}.
• Si les variables X et Y sont indépendantes, il résulte de la définition qu’en particulier les événements [X = 1]
et [Y = 1] sont indépendants.
• Supposons réciproquement que les événements [X = 1] et [Y = 1] sont indépendants. D’après la proposition 9 du chapitre 7, les événements [X = 1] et [Y = 1], les événements [X = 1] et [Y = 1], et les
événements [X = 1] et [Y = 1] sont indépendants. Mais [X = 1] = [X = 0] et [Y = 1] = [Y = 0], donc les
événements [X = 0] et [Y = 1], les événements [X = 1] et [Y = 0] et les événements [X = 0] et [Y = 0]
sont indépendants. Pour tout (x, y) ∈ X(V) × Y(V), les événements [X = x] et [Y = y] sont indépendants,
donc les variables X et Y sont indépendantes.
❑
Proposition 5
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes sur l’espace probabilisé (V, T , P).
Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors pour toute partie E de X(V) et
toute partie F de Y (V), les événements [X ∈ E] et [Y ∈ F] sont indépendants.
Preuve
Les ensembles X(V) et Y(V) sont au plus dénombrables donc il en est de même de leurs sous-ensembles E et
F. Nous nous contenterons de démontrer la propriété quand E et F sont finis. On pose E = {a1, . . . , am} et
F = {b1, . . . , bn}. On a donc [X ∈ E] =
m
i=1
[X = a i ] et [Y ∈ F] =
n
j=1
[Y = b j ]. Par distributivité de l’intersection
par rapport à la réunion, on obtient
[X ∈ E] ∩ [Y ∈ F] =
m
i=1
n
j=1
[X = a i ] ∩ [Y = b j ]
.
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Indépendance de variables aléatoires discrètes
2. Indépendance de variables aléatoires discrètes
2.1 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes
Définition 5
Deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y de l’espace probabilisé (V, T , P) sont
dites indépendantes si
∀(x, y) ∈ X(V) × Y (V), P
[X = x] ∩ [Y = y]
= P
[X = x]
P
[Y = y]
.
➤ Remarque
Cela équivaut à l’indépendance des événements [X = x] et [Y = y] pour tout couple (x, y) ∈ X(V) × Y(V).
Proposition 4
Deux variables aléatoires X et Y , définies sur le même espace probabilisé, suivant des lois
de Bernoulli, sont indépendantes si, et seulement si, les événements [X = 1] et [Y = 1]
sont indépendants.
Preuve
On a par définition X(V) = Y(V) = {0, 1}.
• Si les variables X et Y sont indépendantes, il résulte de la définition qu’en particulier les événements [X = 1]
et [Y = 1] sont indépendants.
• Supposons réciproquement que les événements [X = 1] et [Y = 1] sont indépendants. D’après la proposition 9 du chapitre 7, les événements [X = 1] et [Y = 1], les événements [X = 1] et [Y = 1], et les
événements [X = 1] et [Y = 1] sont indépendants. Mais [X = 1] = [X = 0] et [Y = 1] = [Y = 0], donc les
événements [X = 0] et [Y = 1], les événements [X = 1] et [Y = 0] et les événements [X = 0] et [Y = 0]
sont indépendants. Pour tout (x, y) ∈ X(V) × Y(V), les événements [X = x] et [Y = y] sont indépendants,
donc les variables X et Y sont indépendantes.
❑
Proposition 5
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes sur l’espace probabilisé (V, T , P).
Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors pour toute partie E de X(V) et
toute partie F de Y (V), les événements [X ∈ E] et [Y ∈ F] sont indépendants.
Preuve
Les ensembles X(V) et Y(V) sont au plus dénombrables donc il en est de même de leurs sous-ensembles E et
F. Nous nous contenterons de démontrer la propriété quand E et F sont finis. On pose E = {a1, . . . , am} et
F = {b1, . . . , bn}. On a donc [X ∈ E] =
m
i=1
[X = a i ] et [Y ∈ F] =
n
j=1
[Y = b j ]. Par distributivité de l’intersection
par rapport à la réunion, on obtient
[X ∈ E] ∩ [Y ∈ F] =
m
i=1
n
j=1
[X = a i ] ∩ [Y = b j ]
.
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