Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
➤ Remarque
Ainsi, connaissant une des lois marginales et la probabilité conditionnelle de l’autre variable par rapport à celle-ci,
on obtient la loi conjointe et la loi marginale de la deuxième variable.
Exercice 2.
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que Y suit la loi de
Poisson de paramètre l, et qu’il existe p ∈ ]0, 1[ tel que, pour tout entier naturel m, la loi
conditionnelle de X sachant [Y = m] soit la loi binomiale de paramètre (m, p).
1. Déterminer la loi conjointe de (X, Y ).
2. Déterminer la loi de X.
Solution.
1. Soit (m, k) ∈ N
2 . Par définition de la loi binomiale de paramètre (m, p)
P [Y =m] ([X = k]) =
m
k
p
k (1 − p)
m−k
si k ∈ Ú0, mÛ
0
s i k > m,
donc, par définition de la loi conditionnelle,
P([X = k] ∩ [Y = m]) = P [Y =m] ([X = k])P([Y = m])
=
⎧
⎨
⎩
m
k
p
k (1 − p)
m−k l
m
m!
e
−l
si k ∈ Ú0, mÛ
0
s i k > m.
2. On en déduit que, pour tout entier naturel k,
P([X = k]) =
+∞
m=0
P([X = k] ∩ [Y = m])
=
+∞
m=k
m
k
p
k (1 − p)
m−k l
m
m!
e
−l
=
+∞
m=k
1
k! (m − k)!
p
k (1 − p)
m−k l
m e
−l
= (pl)
k 1
k!
e
−l
+∞
m=k
((1 − p)l)
m−k
(m − k)!
= (pl)
k 1
k!
e
−l
+∞
j=0
((1 − p)l)
j
j!
= (pl)
k 1
k!
e
−l e
(1−p)l
=
(pl)
k
k!
e
−pl .
Donc X suit la loi de Poisson de paramètre pl.
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