© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Lois associées à un couple de variables aléatoires discrètes
Exemple
Si X et Y représentent le rang d’apparition du premier et du deuxième pile dans une suite
infinie de lancers d’une pièce, on a obtenu, pour n ∈ N
∗ et k 2,
P([X = n] ∩ [Y = k]) =
p
2 q
k−2
si n < k
0
s i n k.
P([X = n]) = pq
n−1 et P([Y = k]) = (k − 1)p
2 q
k−2 .
On en déduit que, pour tout k 2,
P [Y =k] ([X = n]) =
⎧
⎨
⎩
p
2 q
k−2
(k − 1)p 2 q k−2 =
1
k − 1
si n k − 1
0
s i n k.
La loi de X conditionnelle à [Y = k] est la loi uniforme sur Ú1, k − 1Û. Cela peut s’expliquer
ainsi : une fois [Y = k] réalisé, il y a dans les k−1 premiers lancers exactement un pile (puisque
Y est le deuxième pile). La probabilité d’obtenir pile étant la même à tous les lancers, il est
réparti de manière équiprobable sur Ú1, k − 1Û.
Pour tout n 1, on a
P [X=n] ([Y = k]) =
⎧
⎨
⎩
p
2 q
k−2
pq n−1 = pq
k−n−1
si k n + 1
0
s i k n.
On remarque que, pour j ∈ N
∗ ,
P [X=n] ([Y − n = j]) = P [X=n] ([Y = n + j]) = pq
j−1 .
La loi de Y − n conditionnelle à [X = n] est donc la loi géométrique de paramètre p. Une fois
l’événement [X = n] réalisé, Y − n représente le temps d’attente du premier pile (à partir du
(n + 1)-ième lancer).
Proposition 3
Soit (X, Y ) est un couple de variables aléatoires discrètes sur (V, T , P). On pose
X(V) = {x i , i ∈ I} et Y (V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. On suppose
que, pour tout (k, ) ∈ I × J, P
[X = x k ]
= 0 et P
[Y = y ]
= 0. On a, pour tout
(i, j) ∈ I × J,
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]) = P [Y =yj] ([X = x i ])P([Y = y j ])
= P [X=xi] ([Y = y j ])P([X = x i ]),
P([X = x i ])
=
k∈J
P [Y =yk] ([X = x i ])P([Y = y k ]),
P([Y = y j ])
=
∈I
P [X=x ] ([Y = y j ])P([X = x ]).
Preuve
Les premières égalités résultent de la définition des probabilités conditionnelles, les deux dernières de la formule
des probabilités totales appliqués aux systèmes complets d’événements
[Y = y k ]
k∈J
et
[X = x ]
∈I
associés
aux variables aléatoires Y et X.
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285
Lois associées à un couple de variables aléatoires discrètes
Exemple
Si X et Y représentent le rang d’apparition du premier et du deuxième pile dans une suite
infinie de lancers d’une pièce, on a obtenu, pour n ∈ N
∗ et k 2,
P([X = n] ∩ [Y = k]) =
p
2 q
k−2
si n < k
0
s i n k.
P([X = n]) = pq
n−1 et P([Y = k]) = (k − 1)p
2 q
k−2 .
On en déduit que, pour tout k 2,
P [Y =k] ([X = n]) =
⎧
⎨
⎩
p
2 q
k−2
(k − 1)p 2 q k−2 =
1
k − 1
si n k − 1
0
s i n k.
La loi de X conditionnelle à [Y = k] est la loi uniforme sur Ú1, k − 1Û. Cela peut s’expliquer
ainsi : une fois [Y = k] réalisé, il y a dans les k−1 premiers lancers exactement un pile (puisque
Y est le deuxième pile). La probabilité d’obtenir pile étant la même à tous les lancers, il est
réparti de manière équiprobable sur Ú1, k − 1Û.
Pour tout n 1, on a
P [X=n] ([Y = k]) =
⎧
⎨
⎩
p
2 q
k−2
pq n−1 = pq
k−n−1
si k n + 1
0
s i k n.
On remarque que, pour j ∈ N
∗ ,
P [X=n] ([Y − n = j]) = P [X=n] ([Y = n + j]) = pq
j−1 .
La loi de Y − n conditionnelle à [X = n] est donc la loi géométrique de paramètre p. Une fois
l’événement [X = n] réalisé, Y − n représente le temps d’attente du premier pile (à partir du
(n + 1)-ième lancer).
Proposition 3
Soit (X, Y ) est un couple de variables aléatoires discrètes sur (V, T , P). On pose
X(V) = {x i , i ∈ I} et Y (V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. On suppose
que, pour tout (k, ) ∈ I × J, P
[X = x k ]
= 0 et P
[Y = y ]
= 0. On a, pour tout
(i, j) ∈ I × J,
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]) = P [Y =yj] ([X = x i ])P([Y = y j ])
= P [X=xi] ([Y = y j ])P([X = x i ]),
P([X = x i ])
=
k∈J
P [Y =yk] ([X = x i ])P([Y = y k ]),
P([Y = y j ])
=
∈I
P [X=x ] ([Y = y j ])P([X = x ]).
Preuve
Les premières égalités résultent de la définition des probabilités conditionnelles, les deux dernières de la formule
des probabilités totales appliqués aux systèmes complets d’événements
[Y = y k ]
k∈J
et
[X = x ]
∈I
associés
aux variables aléatoires Y et X.
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