Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
On cherche a tel que 2ae
2a−1 = 1. La fonction f : x −→ 2xe
2x−1 est dérivable sur R +
de dérivée x −→ 2(1 + 2x)e
2x−1 strictement positive. Elle est donc strictement croissante.
Elle prend au plus une fois la valeur 1. Comme on remarque que f
1
2
= 1, il en résulte
l’égalité a =
1
2
·
2. Le calcul effectué dans la première question montre que, pour tout i ∈ N,
P
[X = i]
=
+∞
j=0
P
[X = i] ∩ [Y = j]
=
1
e
a
i
i!
(ie
a + a e
a ) =
2i + 1
2 i+1 i!
e
−
1
2 ,
puisque a =
1
2
· Par symétrie, la loi de Y est la même que celle de X.
➤ Remarque
La connaissance des lois marginales ne suffit pas à reconstituer la loi conjointe d’un couple de variables aléatoires.
1.4 Lois conditionnelles
Définition 4
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes et tout y de Y (V) tel que
P([Y = y]) = 0, l’application
⎧
⎨
⎩
X(V) −→ R
x −→
P([X = x] ∩ [Y = y])
P([Y = y])
= P [Y =y] ([X = x])
est appelée la loi conditionnelle à [Y = y] de X,
et pour tout x de X(V) tel que P([X = x]) = 0, l’application
⎧
⎨
⎩
Y (V) −→ R
y −→
P([X = x] ∩ [Y = y])
P([X = x])
= P [X=x] ([Y = y])
est appelée la loi conditionnelle à [X = x] de Y .
➤ Remarques
• La première loi conditionnelle est la loi de la variable X dans l’espace probabilisable (V, T , P [Y=y] ), où P [Y=y] est
la probabilité conditionnelle à l’événement [Y = y]. Avec les notations du chapitre 8, on la noterait
P [Y=y]
X
.
De même la seconde est la loi de Y dans l’espace probabilisé (V, T , P [X=x] ).
• Au lieu de loi conditionnelle à [Y = y], on dit aussi loi sachant [Y = y].
Reprenons l’exemple de la page 282.
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