© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Lois associées à un couple de variables aléatoires discrètes
On obtient, pour tout n ∈ N
∗ ,
P([X = n]) =
+∞
k=n+1
P
[X = n] ∩ [Y = k]
=
+∞
k=n+1
p
2 q
k−2
=
+∞
j=0
p
2 q
n+j−1 = p
2 q
n−1 1
1 − q
= pq
n−1
et, pour tout entier k 2,
P([Y = k]) =
k−1
n=1
P
[X = n] ∩ [Y = k]
=
k−1
n=1
p
2 q
k−2 = (k − 1)p
2 q
k−2 .
On constate sans surprise que la variable X suit une loi géométrique de paramètre p (temps
d’attente d’un premier succès). La variable Y , temps d’attente du deuxième succès suit la loi
de Pascal de paramètre (2, p) étudiée en exercice page 267.
Exercice 1.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans N
2 de loi conjointe
∀(i, j) ∈ N
2 , P
[X = i] ∩ [Y = j]
=
(i + j)a
i+j
e.i!j!
·
1. Déterminer le réel a.
2. Déterminer les lois marginales.
Solution.
1. Comme une probabilité est une fonction positive, a est nécessairement positif. On doit
avoir
+∞
i=0
+∞
j=0
P
[X = i] ∩ [Y = j]
= 1.
Le calcul donne
+∞
j=0
P
[X = i] ∩ [Y = j]
=
+∞
j=0
(i + j)a
i+j
e.i!j!
=
1
e
a
i
i!
⎛
⎝ i
+∞
j=0
a
j
j!
+
+∞
j=1
a
j
(j − 1)!
⎞
⎠
=
1
e
a
i
i!
ie
a +
+∞
k=0
a
k+1
k!
=
1
e
a
i
i!
(ie
a + a e
a ).
On en déduit que
+∞
i=0
+∞
j=0
P
[X = i] ∩ [Y = j]
=
e
a
e
+∞
i=0
ia
i
i!
+
a a
i
i!
= e
a−1
+∞
i=1
a
i
(i − 1)!
+ a
+∞
i=0
a
i
i!
= e
a−1
+∞
k=0
a
k+1
k!
+ ae
a
= e
a−1
· 2ae
a = 2ae
2a−1 .
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