Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
1.3 Lois marginales
Définition 3
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé
(V, T , P), la loi de X est appelée première loi marginale du couple et celle de Y est
appelée deuxième loi marginale du couple.
Le théorème suivant exprime le fait que l’on peut déduire les loi marginales de la loi
du couple.
Théorème 1
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On pose X(V) = {x i , i ∈ I} et
Y (V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. On dispose alors des égalités suivantes
∀i ∈ I, P([X = x i ]) =
j∈I
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]),
∀j ∈ J, P([Y = y j ]) =
i∈J
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]).
Preuve
La première propriété résulte de ce que ([Y = y j ]) j∈J est un système complet d’événements et la seconde de ce
que
[X = x i
i∈I
est un système complet d’événements (on applique la proposition 5 du chapitre 7).
❑
➤ Remarques
• Les sommes considérées sont finies ou infinies.
Si Y est finie, on pose Y(V) = {y1, . . . , ym} et on obtient
∀i ∈ I, P([X = x i ]) =
m
j=1
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]).
Si Y est discrète infinie, on prend I = N (ou N ∗ ) et on obtient
∀i ∈ I, P([X = x i ]) =
+∞
j=0
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ]).
On peut faire la même remarque pour la seconde loi marginale.
• Si la loi conjointe est représentée sous la forme d’un tableau, pour obtenir la probabilité P([X = x i ]) il suffit
de faire la somme des termes de la i-ième ligne ; pour obtenir P([Y = y j ]), on fait la somme des termes d’une
colonne.
Déterminons les lois marginales du couple dont on a déterminé les lois conjointes
page 280.
Exemple
Si X et Y représentent le rang d’apparition du premier et du deuxième pile dans une suite
infinie de lancers d’une pièce, on a obtenu, pour n ∈ N
∗ et k 2,
P
[X = n] ∩ [Y = k]
=
p
2 q
k−2
si n < k
0
s i n k.
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