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Lois associées à un couple de variables aléatoires discrètes
• Si n k, on a par définition de X et Y , P([X = n] ∩ [Y = k]) = 0.
• Si n < k, l’événement [X = n] ∩ [Y = k] est réalisé si on obtient pile aux n-ième et k-ième
lancers, les tirages entre le premier et le k-ième différents de ces deux-là donnant face. Les
résultats des différents lancers étant indépendants, on obtient
P([X = n] ∩ [Y = k]) = p
2 q
k−2 .
Proposition 2
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes de l’espace probabilisé
(V, T , P).
• Si X et Y sont finies, avec X(V) = {x 1 , . . . , x m } et Y (V) = {y 1 , . . . , y n }, on a alors
m
i=1
⎛
⎝
n
j=1
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
⎞
⎠ =
n
j=1
m
i=1
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
= 1.
• De même si X(V) = {x i , i ∈ N} et Y (V) = {y j , j ∈ N}, on a
+∞
i=0
⎛
⎝
+∞
j=0
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
⎞
⎠ =
+∞
j=0
+∞
i=0
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
= 1.
Preuve
Cela résulte du fait que, si X(V) = {x i , i ∈ I} et Y(V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N, alors
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
(i,j)∈I×J
est un système complet d’événements.
❑
Illustrons cette proposition avec l’exemple de loi conjointe étudiée page 280.
Exemple
On a
+∞
n=1
+∞
k=2
P([X = n] ∩ [Y = k]) =
+∞
n=1
+∞
k=n+1
p
2 q
k−2 .
En faisant le changement de variable j = k − n − 1, on obtient, pour tout k ∈ N
∗ ,
+∞
k=n+1
p
2 q
k−2 =
+∞
j=0
p
2 q
j+n−1 = p
2 q
n−1
+∞
j=0
q
j = p
2 q
n−1 1
1 − q
= pq
n−1 .
On en déduit
+∞
n=1
+∞
k=2
P([X = n] ∩ [Y = k]) = p
+∞
n=1
q
n−1 =
p
1 − q
= 1.
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