Chapitre 9 – Couples de variables aléatoires réelles discrètes
Proposition 1
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On note X(V) = {x i , i ∈ I}
et Y (V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. Alors la famille d’événements
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
(i,j)∈I×J
est un système complet d’événements de (V, T ) appelé système complet d’événements
associé au couple (X, Y ).
Preuve
Comme X et Y sont des variables aléatoires réelles, [X = x i ] et [X = y j ] sont des éléments de T , et leur
intersection [X = x i ] ∩ [X = y j ] est un élément de T .
Si (i, j) et (i , j ) sont des éléments distincts de I × J, on a soit i = i , x i = x
i et [X = x i ] ∩ [X = x
i ] = ∅, soit
j = j , y j = y
j et [Y = y j ] ∩ [Y = y
j ] = ∅. On en déduit que
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
∩
[X = x
i ] ∩ [Y = y
j ]
= ∅.
Enfin
(i,j)∈I×J
[X = x i ] ∩ [Y = y j ] = V
car, pour tout v ∈ V, si X(v) = x i et Y(v) = y j , v appartient à [X = x i ] ∩ [Y = y j ].
❑
➤ Remarque
Pour l’événement [X = x i ] ∩ [Y = y j ], on trouve aussi les notations [X = x i , Y = y j ] ou [(X, Y) = (x i , y j )]. Quelle
que soit la notation adoptée, cet événement est
{v ∈ V, X(v) = x i et Y(v) = y j }.
1.2 Loi conjointe
Définition 2
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes dans l’espace probabilisé
(V, T , P). L’application
P (X,Y ) :
X(V) × Y (V) −→
[0, 1]
(x, y)
−→ P([X = x] ∩ [Y = y])
est appelée loi du couple (X, Y ) ou loi conjointe des variables aléatoires X et Y .
➤ Remarques
• Si X(V) = {x i , i ∈ I} et Y(V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N, il s’agit donc de déterminer la
famille (p i,j ) (i,j)∈I×J , où p i,j = P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
• Si les variables X et Y sont finies, il existe des entiers naturels non nuls n et m tels que X(V) = {x1, . . . , xn}
et Y(V) = {y1, . . . , ym}. La loi peut être représentée par un tableau à double entrée, les lignes correspondant aux valeurs de X(V) et les colonnes à celles de Y(V) : sur la i-ième ligne et la j-ième colonne, on place
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
Exemple
Dans une succession de pile ou face pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est p ∈ ]0, 1[ et la
probabilité d’obtenir face q = 1−p, on note X le rang d’apparition du premier pile et Y le rang
d’apparition du second pile. On a X(V) = N
∗ et Y (V) = [[2, +∞[[. Soit (n, k) ∈ X(V)×Y (V).
280
Proposition 1
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On note X(V) = {x i , i ∈ I}
et Y (V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. Alors la famille d’événements
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
(i,j)∈I×J
est un système complet d’événements de (V, T ) appelé système complet d’événements
associé au couple (X, Y ).
Preuve
Comme X et Y sont des variables aléatoires réelles, [X = x i ] et [X = y j ] sont des éléments de T , et leur
intersection [X = x i ] ∩ [X = y j ] est un élément de T .
Si (i, j) et (i , j ) sont des éléments distincts de I × J, on a soit i = i , x i = x
i et [X = x i ] ∩ [X = x
i ] = ∅, soit
j = j , y j = y
j et [Y = y j ] ∩ [Y = y
j ] = ∅. On en déduit que
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
∩
[X = x
i ] ∩ [Y = y
j ]
= ∅.
Enfin
(i,j)∈I×J
[X = x i ] ∩ [Y = y j ] = V
car, pour tout v ∈ V, si X(v) = x i et Y(v) = y j , v appartient à [X = x i ] ∩ [Y = y j ].
❑
➤ Remarque
Pour l’événement [X = x i ] ∩ [Y = y j ], on trouve aussi les notations [X = x i , Y = y j ] ou [(X, Y) = (x i , y j )]. Quelle
que soit la notation adoptée, cet événement est
{v ∈ V, X(v) = x i et Y(v) = y j }.
1.2 Loi conjointe
Définition 2
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles discrètes dans l’espace probabilisé
(V, T , P). L’application
P (X,Y ) :
X(V) × Y (V) −→
[0, 1]
(x, y)
−→ P([X = x] ∩ [Y = y])
est appelée loi du couple (X, Y ) ou loi conjointe des variables aléatoires X et Y .
➤ Remarques
• Si X(V) = {x i , i ∈ I} et Y(V) = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N, il s’agit donc de déterminer la
famille (p i,j ) (i,j)∈I×J , où p i,j = P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
• Si les variables X et Y sont finies, il existe des entiers naturels non nuls n et m tels que X(V) = {x1, . . . , xn}
et Y(V) = {y1, . . . , ym}. La loi peut être représentée par un tableau à double entrée, les lignes correspondant aux valeurs de X(V) et les colonnes à celles de Y(V) : sur la i-ième ligne et la j-ième colonne, on place
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
Exemple
Dans une succession de pile ou face pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est p ∈ ]0, 1[ et la
probabilité d’obtenir face q = 1−p, on note X le rang d’apparition du premier pile et Y le rang
d’apparition du second pile. On a X(V) = N
∗ et Y (V) = [[2, +∞[[. Soit (n, k) ∈ X(V)×Y (V).
280