Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
12.
Fonction génératrice
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose, pour tout n ∈ N, p n = P([X = n]).
On appelle fonction génératrice de X la fonction g X : t −→
+∞
n=0
p n t
n .
1. Montrer que l’ensemble de définition de g X contient toujours [−1, 1]. Calculer g X (1). Si
X est une variable finie, quel est l’ensemble de définition de g X ?
2. On veut démontrer que
X possède une espérance ⇐⇒ g est dérivable à gauche en 1
et qu’alors E(X) = g
(1).
a. Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1[, on a
g X (t) − g X (1)
t − 1
=
+∞
n=1
(1 + t + · · · + t
n−1 )p n . En
déduire que la fonction t −→
g X (t) − g X (1)
t − 1
est croissante sur [0, 1[.
b. On suppose que X possède une espérance. Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1[,
g X (t) − g X (1)
t − 1
E(X).
En déduire que g X est dérivable à gauche en 1 et que g
X (1) E(X).
c. Réciproquement, on suppose que g X est dérivable à gauche en 1. Montrer que,
pour n ∈ N
∗ ,
n
k=1
kp k g
X (1). En déduire que X possède une espérance et que
E(X) g
X (1). Conclure.
3. Déterminer g X dans les cas suivants : X → B(n, p) ; X → G(p) ; X → P(l). Retrouver
ainsi l’espérance de ces variables.
13.
Question préliminaire. Soit X variable aléatoire discrète, positive, possédant une
espérance. Montrer que, pour l > 0,
P([X l])
E(X)
l
·
Soit S n une variable aléatoire. qui suit une loi binomiale de paramètre (n, p) et x > 0.
1. Montrer que, pour l > 0, on a P([S n − np nx])
E(e
l(Sn−np) )
e nlx
·
2. Montrer que E(e
l(Sn−np) ) = (pe
lq + qe
−lp )
n .
3. En utilisant l’inégalité e
t
t + e
t
2 , pour tout réel t (à démontrer), montrer que
P([S n − np nx]) e
n(l
2 −lx) .
4. En prenant la valeur de l qui minimise le côté droit de l’inégalité, montrer que
P([S n − np nx]) e
−
nx 2
4 .
5. On peut démontrer de la même façon que P([S n − np −nx]) e
−
nx 2
4 . En déduire
l’inégalité de Bernstein
P
S n
n
− p
x
2e
−
nx 2
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