EXERCICES
9.
Soit X un variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (V, T , P). On
appelle mode de X toute valeur de X(V) tel que P([X = x]) soit maximal.
Déterminer les modes d’une variable suivant
1. une loi binomiale de paramètre (n, p),
2. une loi de Poisson de paramètre l.
10.
1. Soit (u n ) n0 une suite à valeurs dans l’intervalle [0, 1[. Pour tout n ∈ N, on pose
q n =
n
k=0
(1 − u k ) = (1 − u 0 )(1 − u 1 ) · · · (1 − u n ).
On dira que le produit
(1 − u k ) est convergent si la suite (q n ) admet une limite > 0.
On notera alors =
+∞
k=0
(1 − u k ).
a. Étudier la convergence et calculer éventuellement la limite des produits suivants
q n =
n
k=0
1 −
1
k + 2
, q n =
n
k=0
1 −
1
(k + 2) 2
·
b. On revient maintenant au cas général. Montrer que le produit
(1 − u k ) converge si et
seulement si la série
u k converge.
2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que pour tout n ∈ N, on ait
P([X n]) > 0.
On appelle taux de panne associé, la suite réelle (x n ) définie pour tout n ∈ N par
x n = P([X = n]/[X n]).
a. Exprimer P([X n]) puis p n = P([X = n]) en fonction des x k .
b. Déterminer les lois des variables aléatoires à valeurs dans N
∗ ayant un taux de panne
constant sur N
∗ .
c. Montrer qu’une suite (x k ) k0 est un taux de panne si et seulement si 0 x k < 1, pour
tout k ∈ N et la série
x k diverge.
11.
On considère une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes. À chaque épreuve,
la probabilité de succès est p ∈ ]0, 1[ . On se donne un entier r strictement positif. Pour
n ∈ N
∗ , on note P n la probabilité qu’au cours des n premières épreuves, on ait obtenu au
moins r succès consécutifs.
1. a. Calculer P 0 , P 1 , . . . , P r .
b. Montrer que, pour n r, on a P n+1 = P n + (1 − P n−r )p
r (1 − p).
c. Montrer que la suite (P n ) n∈N est convergente. Calculer sa limite
2. a. Déduire de la question 1 que l’on peut définir une variable aléatoire T égale au temps
d’attente de r succès consécutifs. On définira [T = k] comme l’événement « on a obtenu
des succès aux épreuves de rang k − r + 1, k − r + 2, . . . , k sans jamais avoir obtenu r
succès consécutifs auparavant ».
b. Montrer en utilisant le résultat de l’exercice 3. que E(T ) =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
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9.
Soit X un variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (V, T , P). On
appelle mode de X toute valeur de X(V) tel que P([X = x]) soit maximal.
Déterminer les modes d’une variable suivant
1. une loi binomiale de paramètre (n, p),
2. une loi de Poisson de paramètre l.
10.
1. Soit (u n ) n0 une suite à valeurs dans l’intervalle [0, 1[. Pour tout n ∈ N, on pose
q n =
n
k=0
(1 − u k ) = (1 − u 0 )(1 − u 1 ) · · · (1 − u n ).
On dira que le produit
(1 − u k ) est convergent si la suite (q n ) admet une limite > 0.
On notera alors =
+∞
k=0
(1 − u k ).
a. Étudier la convergence et calculer éventuellement la limite des produits suivants
q n =
n
k=0
1 −
1
k + 2
, q n =
n
k=0
1 −
1
(k + 2) 2
·
b. On revient maintenant au cas général. Montrer que le produit
(1 − u k ) converge si et
seulement si la série
u k converge.
2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que pour tout n ∈ N, on ait
P([X n]) > 0.
On appelle taux de panne associé, la suite réelle (x n ) définie pour tout n ∈ N par
x n = P([X = n]/[X n]).
a. Exprimer P([X n]) puis p n = P([X = n]) en fonction des x k .
b. Déterminer les lois des variables aléatoires à valeurs dans N
∗ ayant un taux de panne
constant sur N
∗ .
c. Montrer qu’une suite (x k ) k0 est un taux de panne si et seulement si 0 x k < 1, pour
tout k ∈ N et la série
x k diverge.
11.
On considère une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes. À chaque épreuve,
la probabilité de succès est p ∈ ]0, 1[ . On se donne un entier r strictement positif. Pour
n ∈ N
∗ , on note P n la probabilité qu’au cours des n premières épreuves, on ait obtenu au
moins r succès consécutifs.
1. a. Calculer P 0 , P 1 , . . . , P r .
b. Montrer que, pour n r, on a P n+1 = P n + (1 − P n−r )p
r (1 − p).
c. Montrer que la suite (P n ) n∈N est convergente. Calculer sa limite
2. a. Déduire de la question 1 que l’on peut définir une variable aléatoire T égale au temps
d’attente de r succès consécutifs. On définira [T = k] comme l’événement « on a obtenu
des succès aux épreuves de rang k − r + 1, k − r + 2, . . . , k sans jamais avoir obtenu r
succès consécutifs auparavant ».
b. Montrer en utilisant le résultat de l’exercice 3. que E(T ) =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
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