Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
c. Calculer H(X) lorsque X suit une loi uniforme, c’est-à-dire lorsque, pour tout x ∈ E,
P([X = x]) =
1
N
.
2. a. Montrer que, pour x 0, on a f (x) 1 − x. Dans quel cas a-t-on égalité ?
b. En déduire que
x∈E
f (NP([X = x])) 0.
c. En déduire une majoration de H(X).
3. a. Pour quelles variables aléatoires X l’entropie H(X) est-elle minimale ?
b. Pour quelles variables aléatoires X l’entropie H(X) est-elle maximale ?
7.
Soit A et B deux boîtes contenant respectivement deux jetons marqués 0 et deux
jetons marqués 1. On extrait au hasard un jeton de A et un jeton de B et on les échange. On
répète cette opération. Pour n ∈ N
∗ , on note X n la somme des numéros contenus dans A
après n échanges.
1. Déterminer la loi de X 1 .
2. Pour n ∈ N
∗ , déterminer X n+1 (V) et calculer, pour k ∈ X n+1 (V), P([X n+1 = k]) en fonction
de P([X n = 1]).
3. Calculer, pour tout n ∈ N
∗ , P([X n = 1]). En déduire la loi de X n .
4. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗ , E(X n ) = 1.
8.
Une urne contient n jetons numérotées de 1 à n. On effectue une suite de tirages,
en tirant à chaque fois un jeton que l’on remet avant le tirage suivant. Tous les tirages sont
supposés équiprobables et indépendants.
On note B j,m l’événement : « au bout de m tirages, le numéro j n’est pas encore apparu ».
1. Calculer P(B j,m ) et, plus généralement P(B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m ), où j 1 , j 2 , . . . , j k sont k
indices distincts compris entre 1 et n.
2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir tous les
numéros au moins une fois.
a. Montrer que [X > m] = B 1,m ∪ B 2,m ∪ · · · ∪ B n,m .
b. En appliquant la formule du crible, montrer que
P([X > m]) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
m
.
Calculer lim
m→+∞
P([X > m]). Interpréter.
c. En utilisant le résultat de l’exercice 3., montrer que X admet une espérance et que
E(X) = n
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
k
·
d. Montrer que E(X) = n
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
. En déduire un équivalent de E(X) lorsque
n tend vers +∞.
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c. Calculer H(X) lorsque X suit une loi uniforme, c’est-à-dire lorsque, pour tout x ∈ E,
P([X = x]) =
1
N
.
2. a. Montrer que, pour x 0, on a f (x) 1 − x. Dans quel cas a-t-on égalité ?
b. En déduire que
x∈E
f (NP([X = x])) 0.
c. En déduire une majoration de H(X).
3. a. Pour quelles variables aléatoires X l’entropie H(X) est-elle minimale ?
b. Pour quelles variables aléatoires X l’entropie H(X) est-elle maximale ?
7.
Soit A et B deux boîtes contenant respectivement deux jetons marqués 0 et deux
jetons marqués 1. On extrait au hasard un jeton de A et un jeton de B et on les échange. On
répète cette opération. Pour n ∈ N
∗ , on note X n la somme des numéros contenus dans A
après n échanges.
1. Déterminer la loi de X 1 .
2. Pour n ∈ N
∗ , déterminer X n+1 (V) et calculer, pour k ∈ X n+1 (V), P([X n+1 = k]) en fonction
de P([X n = 1]).
3. Calculer, pour tout n ∈ N
∗ , P([X n = 1]). En déduire la loi de X n .
4. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗ , E(X n ) = 1.
8.
Une urne contient n jetons numérotées de 1 à n. On effectue une suite de tirages,
en tirant à chaque fois un jeton que l’on remet avant le tirage suivant. Tous les tirages sont
supposés équiprobables et indépendants.
On note B j,m l’événement : « au bout de m tirages, le numéro j n’est pas encore apparu ».
1. Calculer P(B j,m ) et, plus généralement P(B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m ), où j 1 , j 2 , . . . , j k sont k
indices distincts compris entre 1 et n.
2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir tous les
numéros au moins une fois.
a. Montrer que [X > m] = B 1,m ∪ B 2,m ∪ · · · ∪ B n,m .
b. En appliquant la formule du crible, montrer que
P([X > m]) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
m
.
Calculer lim
m→+∞
P([X > m]). Interpréter.
c. En utilisant le résultat de l’exercice 3., montrer que X admet une espérance et que
E(X) = n
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
k
·
d. Montrer que E(X) = n
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
. En déduire un équivalent de E(X) lorsque
n tend vers +∞.
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