EXERCICES
2. a. On suppose que X admet une espérance, prouver que l’on a
lim
n→+∞
nP([X > n]) = 0.
En déduire la formule
E(X) =
+∞
k=0
P([X > k]).
b. Réciproquement, montrer que si la série de terme général P([X > k]) est convergente,
alors X admet une espérance donnée par la formule précédente.
3. Retrouver ainsi l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p.
4.
Soit X une variable aléatoire définie sur (V, T , P) telle que X(V) ⊂ N et Y la
variable aléatoire définie sur (V, T , P) par
Y (v) = 0 si X(v) est impair ; Y (v) =
X(v)
2
si X(v) est pair.
Trouver la loi de Y et son espérance lorsque X suit une loi géométrique, puis lorsque X suit
une loi de Poisson.
5.
Le nombre de visiteurs quotidiens d’un parc d’attractions suit une loi de Poisson de
paramètre 10000.
Ce parc a dix portes d’entrées E 1 , E 2 , · · · , E 10 qui sont choisies par les visiteurs de manière
équiprobable.
1. Déterminer le nombre moyen de visiteurs en une journée.
2. Quelle est la probabilité qu’un visiteur donné se présente à l’entrée E 1 ?
3. On désigne par X 1 le nombre de visiteurs entrant par E 1 en une journée donnée.
Trouver la loi de X 1 , calculer son espérance et sa variance.
4. Sachant qu’un visiteur sur dix se débrouille pour entrer sans payer, calculer le nombre
moyen de visiteurs payant et entrant par E 1 .
6.
Soit f la fonction définie sur R + par
f (0) = 0 et f (x) = −x ln x si x > 0.
Soit (V, T , P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire sur V à valeurs dans un
ensemble fini E. On note N le nombre d’éléments de E. On appelle entropie de X le réel
noté H(X) défini par
H(X) =
x∈E
f (P([X = x])).
1. a. Quelle est le signe de H(X) ?
b. Calculer H(X) lorsque X est constante.
275